Е. А. Ровба - Высшая математика

Р е ш е н и е. Имеем: k1 = 3, k2 = −2. По формуле (2.10)

Таким образом, угол между данными прямыми равен π/4.

2.1.7.Условия параллельности и перпендикулярности

Прямые L1 и L2 параллельны, когда угол между ними ϕ = 0 и tg ϕ = 0. Это верно, если числитель правой части формулы (2.10)

Равенство угловых коэффициентов (2.11) называется условием параллельности двух прямых.

Прямые L1 и L2 перпендикулярны, когда ϕ = π/2 и ctg ϕ = 0. Из формулы (2.10) находим:

ctg ϕ = 1 + k1k2 . k2 − k1

Значит, равенство ctg ϕ = 0 выполняется, если 1 + k1k2 = 0, откуда

Равенство (2.12) называется условием перпендикулярности двух прямых, которое состоит в том, что угловые коэффициенты прямых обратны по величине и противоположны по знаку.

Пример 2.8. Показать, что прямые 2x−3y+1 = 0 и 6x−9y+2 = 0 параллельны.

Р е ш е н и е. Приведем каждое из уравнений к виду уравнения с угловым коэффициентом:

Угловые коэффициенты данных прямых равны: k1 = k2 = 2/3. Значит, прямые параллельны.

2.1.8. Расстояние от точки до прямой

Расстоянием от точки до прямой будем, как всегда, называть длину перпендикуляра, проведенного из точки на прямую.

Теорема 2.2. Расстояние d от данной точки M(x0, y0) до прямой L, заданной уравнением Ax + By + C = 0, на плоскости определяется формулой

|Ax0 + By0 + C|

d = √ . (2.13)

A2 + B2

Пример 2.9. Пусть прямая L задана уравнением 2x − 3y + 5 = 0

идана точка M(1, 2). Найти расстояние d от точки M до прямой L.

Ре ш е н и е. По формуле (2.13) получаем:

2.1.9.Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть прямые L1 и L2 заданы следующими уравнениями:

описаны следующим образом:

1)если A1B2 − A2B1 = 0, то прямые пересекаются и точка их пересечения может быть получена как решение системы (2.14);

2)если A1B2 − A2B1 = 0, то:

а) при A1C2 − A2C1 = 0 и B1C2 − B2C1 = 0 прямые совпадают, т.е. оба уравнения (2.14) задают одну и ту же прямую;

б) при A1C2 − A2C1 = 0 либо B1C2 − B2C1 = 0 прямые параллельны и различны.

Итак, две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке, либо совпадают, либо параллельны.

2.2. Кривые второго порядка

2.2.1. Окружность

Определение 2.7. Окружность — это множество точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r > 0, называемом радиусом окружности, от точки C(x0, y0) — центра (рис. 2.8).

y

r M(x, y)

y0 C

Рис. 2.8

Согласно формуле (1.21) для расстояния между двумя точками уравнение окружности может быть представлено в виде

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2.15) принимает вид

x2 + y2 = r2.

Пример 2.10. Доказать, что уравнение x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0 задает окружность. Найти ее центр и радиус.

Ре ш е н и е. Сгруппируем все члены уравнения, содержащие x,

азатем члены, содержащие y:

(x2 − 4x) + (y2 + 2y) = 4.

Дополним выражения в скобках до полных квадратов:

(x2 − 4x + 4) − 4 + (y2 + 2y + 1) − 1 = 4, (x − 2)2 + (y + 1)2 = 32.

Мы преобразовали исходное уравнение к виду (2.15), где x0 = 2, y0 = −1 и r = 3. Следовательно, это уравнение задает окружность, центр которой находится в точке (2, −1), а радиус равен 3.

2.2.2. Эллипс

Определение 2.8. Эллипс (рис. 2.9) — это геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

называемому каноническим уравнением эллипса.

−b B1

Рис. 2.9

Из определения следует, что эллипс:

1)симметричен относительно осей координат и начала координат;

2)целиком лежит внутри прямоугольника |x| a, |y| b.

Выполним построение эллипса. Для первой четверти, где координаты x, y 0, выразим явно переменную y через x:

Используя последнее уравнение, построим эллипс в первой четверти. Затем, симметрично отображая построенный фрагмент относительно осей и центра координат, получаем весь эллипс (рис. 2.9).

Определение 2.9. Точки A1(−a, 0), A2(a, 0), B1(0, −b), B2(0, b)

(рис. 2.9), принадлежащие эллипсу, называются вершинами эллипса.

су (2.16) тогда и только тогда, когда сумма ее фокальных радиусов равна 2a:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для обоснования необходимости докажем, что если точка M принадлежит эллипсу, то сумма ее фокальных радиусов равна 2a.

Из рис. 2.9 видно, что фокальные радиусы могут быть вычислены по формулам:

Складывая r1 и r2, убеждаемся в справедливости равенства (2.17). Для доказательства достаточности убедимся, что всякая точ-

ка M, сумма фокальных радиусов которой равна 2a, принадлежит эллипсу.

В самом деле, согласно формулам (2.18),

!!

(x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a,

!!

(x + c)2 + y2 = 2a − (x − c)2 + y2.

Возведем левую и правую части в квадрат:

!

(x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2,

!

a (x − c)2 + y2 = a2 − cx.

Последнее равенство снова возведем в квадрат:

a2 (x − c)2 + y2 = (a2 − cx)2,

a2x2 − 2a2cx + a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2cx + c2x2, (a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2).

Поскольку c2 = a2 −b2, то a2 −c2 = b2, и преобразуемое равенство принимает вид

b2x2 + a2y2 = a2b2.

Деля его левую и правую части на a2b2, приходим к каноническому уравнению эллипса (2.16). Таким образом, точка M принадлежит эллипсу.

Замечание 2.2. Утверждение теоремы 2.3 может использоваться в качестве определения эллипса.

Определение 2.15. Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется эксцентриситетом

ε = ac .

Поскольку 0 c < a, то 0 ε < 1. Если, в частности, a = b, то c = 0 и ε = 0. В этом случае фокусы сливаются в одной точке — центре и эллипс деформируется в окружность, заданную уравнением x2 +y2 = a2. По мере возрастания эксцентриситета от нуля до единицы увеличивается «сплющенность» эллипса.

Из равенств (2.19) и определения эксцентриситета следует, что фокальные радиусы любой точки M(x, y) эллипса могут быть найдены по формулам:

ское уравнение (2.16), получаем систему уравнений для нахождения полуосей a и b:

2.2.3. Гипербола

Определение 2.16. Гипербола (рис. 2.11) — это геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

называемому каноническим уравнением гиперболы.

Рис. 2.11

Из канонического уравнения (2.20) следует, что гипербола:

1)симметрична относительно осей координат и начала координат;

2)не пересекает ось Oy;

3)лежит за пределами полосы |x| < a;

4)состоит из двух ветвей: левой для x −a и правой для x a.

Построим гиперболу. Получим зависимость переменной y от x в первой четверти:

Теперь выполним построение в первой четверти и симметрично отобразим полученный фрагмент на всю систему координат (рис. 2.11).

Определение 2.17. Точки A1(−a, 0) и A2(a, 0) (рис. 2.11) лежат на гиперболе и называются вершинами гиперболы.

Определение 2.18. Начало координат O(0, 0) (рис. 2.11), выступающее в роли центра симметрии гиперболы, называют центром гиперболы.

Определение 2.19. Отрезки A1A2 и B1B2, где B1 = (0, −b)

и B2 = (0, b) (рис. 2.11), а также их длины 2a и 2b называют соответственно действительной и мнимой осями гиперболы.

Определение 2.20. Отрезки OA2 и OB2 (рис. 2.11), представляющие собой половины действительной и мнимой осей, и их длины a и b называют соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Определение 2.21. Положим

!

c = a2 + b2.

Точки F1(−c, 0) и F2(c, 0) (рис. 2.11) называются фокусами гиперболы.

Ясно, что a < c, т.е. расстояние между фокусами больше действительной оси гиперболы.

Определение 2.22. Расстояния r1 и r2 (рис. 2.11) от точки M гиперболы до ее фокусов F1 и F2 называются соответственно левым и правым фокальными радиусами этой точки.

Определение 2.23. Прямоугольник, образованный прямыми x = −a, x = a, y = −b и y = b (рис. 2.11), называется основным прямоугольником гиперболы.

Определение 2.24. Две прямые y = ± ab x (рис. 2.11) называются асимптотами гиперболы.

Замечание 2.3. При удалении от начала координат гипербола как угодно близко подходит к своим асимптотам, не пересекая их. Построение гиперболы удобно начинать с изображения основного прямоугольника. Далее проводят асимптоты, которые являются диагоналями основного прямоугольника. После этого вычерчивание гиперболы не составляет труда (рис. 2.11).