Е. А. Ровба - Высшая математика

190 Глава 4. Дифференциальное исчисление

4.1.2. Геометрический смысл производной

Пусть функция y = f(x) определена на интервале (a, b). Предположим, что кривая AB является графиком этой функции (рис. 4.1). Пусть M(x0, f(x0)) — какая-либо точка графика. Придадим аргументу приращение x в точке x0. Соответствующую точку на графике

Через точки M и P проведем прямую и назовем ее секущей. Если точку P устремить по кривой AB к точке M, то положение секущей будет, вообще говоря, изменяться.

Определение 4.2. Касательной к кривой в точке M называется предельное положение (если оно существует) секущей MP , когда точка P неограниченно приближается к точке M.

Обозначим через α угол между касательной MT и осью Ox (или, что то же самое, между касательной MT и прямой MN, рис. 4.1), а через ϕ — угол между секущей MP и осью Ox, т.е. α — угол наклона касательной MT к оси Ox, а ϕ — угол наклона секущей MP к оси Ox. Очевидно, что

lim tg ϕ = tg α.

P →M

Поскольку tg ϕ = MNPN , то будем иметь:

или f (x0) = tg α.

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции y = f(x) в точке x = x0 есть тангенс угла наклона касательной к ее графику в точке (x0, f(x0)). Другими словами, f (x0) — это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке

M(x0, y0).

Теперь, учитывая уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом (2.5), несложно получить

Прямая, проходящая через точку (x0, f(x0)) и перпендикулярная касательной, называется нормалью к графику в этой точке.

Учитывая условие перпендикулярности двух прямых (2.12), можем записать уравнение нормали:

при условии f (x0) = 0. Если же f (x0) = 0, то нормалью будет прямая x = x0.

Пример 4.3. Найти уравнение касательной и нормали к графику функции y = 2x + 3x−2 в точке (1, 5).

Р е ш е н и е. Полагаем x0 = 1. Очевидно, что y(1) = 5. Найдем угловой коэффициент касательной:

y = 2 − 6x−3, y (1) = 2 − 6 = −4.

Теперь воспользуемся формулой (4.2) и запишем уравнение касательной в точке (1, 5):

y − 5 = (−4)(x − 1), y − 5 = −4x + 4, y = −4x + 9.

Уравнение нормали будет иметь следующий вид:

Следствие 4.1. Вернемся к примеру 4.2. Построим график функции y = |x − 1| (рис. 4.2).

y

Очевидно, что график этой функции не имеет касательной в точке x = 1 и, следовательно, производной.

4.1.3. Физический смысл производной

Пусть некоторая материальная точка M движется прямолинейно и задан закон ее движения s = s(t), т.е. известно расстояние s(t) от точки M до некоторой начальной точки отсчета в каждый момент времени t. К моменту времени t0 точка пройдет расстояние s(t0), а к моменту времени t0 + t — расстояние s(t0 + t). За промежуток времени t точка M пройдет расстояние s = s(t0 + t) − s(t0).

Отношение s/ t можно рассматривать как среднюю скорость движения на промежутке времени [t0, t0 + t]. Чем меньше промежуток времени t, тем точнее соответствующая средняя скорость будет характеризовать движение точки в момент времени t0. Вследствие

Осталось воспользоваться формулой для производной произведения:

6. (ax) = ax ln a.

7.(ex) = ex.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положив a = e в формуле 6, получим:

(ex) = ex ln e = ex.

Теорема 4.3. Если функция y = f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x0, имеет производную в точке x0 и f (x0) = 0, то обратная функция x = f−1(y) имеет производную в соответствующей точке y0, y0 = f(x0), причем

(f−1(y0)) = − 1 . f (x0)

x→0

или f−1(y0) = 1/f (x0).

8.(loga x) = x ln1 a , a > 0, a = 1.

До к а з а т е л ь с т в о. Логарифмическую функцию y = loga x можно рассматривать как обратную функцию к показательной функции x = ay. Значит, применив теорему 4.3, получим:

9.(ln x) = x1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Полагая a = e в формуле 8, получим:

Корень взят со знаком «+», так как y = arcsin x (−π/2, π/2), поэтому cos y > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция y = arctg x является обратной к функции x = tg y, поэтому в силу теоремы 4.3

До к а з а т е л ь с т в о. Функция y = arcctg x является обратной

кфункции x = ctg y, поэтому в силу теоремы 4.3

Теорема 4.4. Если функция u = ϕ(x) имеет производную в точке x0, а функция y = f(u) — в соответствующей точке u0, u0 = ϕ(x0), то сложная функция y = f(ϕ(x)) имеет производную в точке x0 и справедлива следующая формула:

и получим формулу (4.7).

Отметим, что формулу (4.7) для нахождения производной сложной функции y = f(ϕ(x)), ϕ(x) = u, можно кратно записать так:

14. (xα) = αxα−1, α R, α = 0.