Е. А. Ровба - Высшая математика

Формулы из таблицы производных, правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и правило дифференцирования сложной функции выражают основные принципы дифференцирования функции. С их помощью можно найти производную любой элементарной функции.

Пример 4.4. Найти производную функции y = cos x+x arctg x+2.

Р е ш е н и е. Сначала применим правило дифференцирования суммы (4.4):

y = (cos x) + (x arctg x) + (2) .

Затем воспользуемся таблицей производных и правилом дифференцирования произведения (4.5):

Пример 4.6. Найти производную функции y = cos5(2x + 1).

Р е ш е н и е. Данная функция является сложной,

y = u5, u = cos(2x + 1).

Обе эти функции имеют производные, и по правилу дифференцирования сложной функции (4.8) получаем:

y = (u5) (cos(2x + 1)) = 5u4 (cos(2x + 1)) .

Теперь еще раз применим формулу (4.8):

(cos(2x + 1)) = − sin(2x + 1) · (2x + 1) = −2 sin(2x + 1).

Таким образом, окончательно имеем:

y = −10 cos4(2x + 1) sin(2x + 1).

4.1.6. Логарифмическая производная

Предположим, что f(x) > 0 для x (a, b). Рассмотрим функцию y = ln f(x). Дифференцируем ее как сложную, y = ln u, u = f(x):

Производная от логарифма функции называется логарифмической производной этой функции, а последовательное применение операций логарифмирования, а затем дифференцирования — логарифмическим дифференцированием.

С помощью указанного метода найдем, например, производную показательно-степенной функции y = (u(x))v(x), где u, v — некоторые функции, имеющие в точке x производные, u(x) > 0. Применив формулу (4.9), получим:

Эту формулу можно переписать так:

(uv) = uv v ln u + v uv−1 u ,

т.е. производная степенно-логарифмической функции равна сумме, где множитель в одном слагаемом есть производная от степенной функции, а множитель в другом слагаемом — от показательной.

Пример 4.7. Найти производную функции y = xx, x > 0.

Р е ш е н и е. Если положить u = x и v = x, то можно применить формулу (4.10) и сразу записать производную. Мы же повторим рассуждения, использованные при выводе формулы (4.10). Прологарифмируем исходную функцию:

ln y = x ln x.

Дифференцируя это равенство как тождество, т.е. дифференцируя обе его части, находим:

y = (x ln x) = ln x + 1. y

Следовательно, y = xx(1 + ln x).

4.1.7. Производная неявной функции

Пусть функция y = y(x) задана неявно:

F (x, y) = 0.

Для нахождения производной y будем дифференцировать обе части этого равенства, считая, что x — независимая переменная, а y — функция переменной x. Из полученного уравнения найдем y . Проиллюстрируем этот метод на примере.

Пример 4.8. Найти производную функции y, заданной уравнением y = cos(x + 3y).

Р е ш е н и е. Дифференцируем обе части уравнения:

y = − sin(x + 3y)(x + 3y) , y = − sin(x + 3y)(1 + 3y ).

Решаем полученное уравнение относительно y :

4.1.8. Производные высших порядков

Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке x(a, b). Тогда на промежутке (a, b) будет определена функция f (x) и тоже можно говорить о ее производной.

Назовем f (x) производной первого порядка функции f(x).

Определение 4.3. Производной второго порядка функции f(x)

называется производная от функции f (x), если она существует. Ее обозначают

Производная от второй производной называется производной третьего порядка функции f(x). Ее обозначают

Определение 4.4. Производной n-го порядка функции f(x)

называется производная от производной (n − 1)-го порядка, если она существует. Ее обозначают

Производные высших порядков широко применяются, в частности, в физике. Выясним, например, физический смысл второй производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно и пройденный ею путь описывается уравнением s = s(t), где t — время. Как известно (см. п. 4.1.3), первая производная от пути по времени есть

мгновенная скорость движения точки в момент времени t: v(t) = s (t). Тогда вторая производная от пути по времени равна скорости изменения функции скорости v(t). А это есть ускорение a(t) материальной точки в момент времени t. Таким образом, вторая производная от пути по времени есть ускорение, т.е.

a(t) = s (t).

Теперь найдем производные n-го порядка для некоторых элементарных функций.

1. Рассмотрим степенную функцию y = xα, x (0, +∞), α R. Очевидно, что

y = αxα−1, y = α(α − 1)xα−2, . . . , y(n) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)xα−n.

Если предположить, что α = k N, то

y(k) = (xk)(k) = k(k − 1) · · · 2 · 1 = k!, y(k+1) = (k!) = 0.

2. Замечательным свойством обладает показательная функция

Приведем еще одну формулу для нахождения производной n-го порядка. Пусть y = uv, где u, v — некоторые функции, имеющие про-

4.1.9. Применение производной в экономике

Пусть q = q(t) выражает количество продукции, произведенной за время t на некотором предприятии. Необходимо определить производительность труда в момент времени t0.

Очевидно, что за период времени от t0 до t0 + t количество про-

Производительность труда Q в момент времени t0 можно определить как предельное значение средней производительности за период

Пусть функция C = C(q) характеризует зависимость издержек производства от количества выпускаемой продукции. Предположим, что количество продукции увеличивается на q, т.е. равно q + q. Соответствующие издержки производства будут равны C(q + q). Тогда приращению количества продукции q соответствует приращение издержек производства продукции:

C(q + q) − C(q) = C(q).

Среднее приращение издержек производства будет равно C(q)/ q. Это есть приращение издержек производства на единицу приращения количества продукции. Если перейти к пределу, когда q → 0, то получим значение предельных издержек производства:

Аналогично, если выручка от реализации q единиц товара описывается функцией R = R(q), то предельная выручка определяется как

Теперь рассмотрим еще одно важное понятие, применяемое в экономике, при определении которого используется производная. Это понятие эластичности функции, введенное А. Маршаллом в связи с анализом функции спроса. По существу, эластичность является чисто математическим понятием и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций.

Определение 4.5. Эластичностью функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения относительного изменения функции к относительному изменению аргумента, когда x стремится к

Для дифференцируемой функции

Из определения эластичности следует, что при достаточно малых x выполняется приближенное равенство

Таким образом, эластичность можно рассматривать как коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x. Если, например, x увеличивается на 1%, то y увеличивается (приближенно) на Ex(y)%.

Пример 4.10. Найти эластичность функции y = x3 + 2.

Р е ш е н и е. Применив формулу (4.14), будем иметь:

Это означает, что если переменная x возрастает на 1% в окрестности точки x = 2, то переменная y увеличится приблизительно на 2,4%.

4.2. Дифференцируемость функции

4.2.1.Понятие дифференцируемости функции в точке

Как уже указывалось, операция нахождения производной называется дифференцированием. Применение этого термина оправдано следующими рассуждениями.

Определение 4.6. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x, если существует такое число A, что приращение функции в этой точке можно представить в виде

где α(Δx) — БМФ при x → 0.

Теорема 4.5. Для того чтобы функция y = f(x) была дифференцируемой в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную f (x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x. Тогда справедлива формула (4.15). Разделим обе части этого равенства на x и получим:

xy = A + α(Δx).

По свойству 1 предела функции это означает, что существует

т.е. f (x) = A.

Достаточность. Предположим, что функция y = f(x) имеет производную в точке x, т.е. существует

Тогда по тому же свойству 1 имеем:

xy = f (x) + α(Δx),