Е. А. Ровба - Высшая математика

где α(Δx) — БМФ при x → 0. Отсюда находим, что

y = f (x)Δx + α(Δx)Δx,

т.е. функция y = f(x) дифференцируема в точке x.

Таким образом, в формуле (4.15) можно положить A = f (x).

4.2.2.Дифференциал функции и приближенные вычисления

с помощью дифференциала

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x. Тогда приращение функции в этой точке может быть записано по формуле (4.15) в виде

y = A x + α(Δx)Δx,

где lim α(Δx) = 0. Второе слагаемое (α(Δx)Δx) является БМФ более

x→0

высокого порядка по сравнению с функцией A x (при условии, что A = 0), так как

Вследствие этого первое слагаемое (A x) является главной частью приращения y, причем это слагаемое есть линейная относительно

x функция.

Определение 4.7. Главная линейная относительно x часть приращения функции

y = A x + α(Δx)Δx

в точке x называется дифференциалом функции y = f(x) в этой точке и обозначается следующим образом:

dy = A x.

Если A = 0, то A x не является, вообще говоря, главной частью приращения y. В этом случае по определению полагают dy = 0.

Учитывая теорему 4.5, а именно что A = f (x), можно записать:

Теперь найдем дифференциал функции f(x) = x. Применив формулу (4.16), получим:

dy = (x) x = x,

поэтому дифференциал независимой переменной x определяют следующим образом: полагают dx = x. Тогда формулу (4.16) можно записать в виде

Отметим, что именно последнее равенство объясняет обозначение производной dy/dx или df(x)/dx.

Обратимся снова к формуле (4.15). На основании вышеизложен-

Формулу (4.18) часто используют в приближенных вычислениях.

Пример 4.11. Найти приближенное значение e0,2.

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой (4.18). Очевидно, что в данном случае f(x) = ex. Положим x = 0, x = 0,2.

Будем иметь:

ex+Δx − ex ≈ (ex) x,

или

e0,2 − e0 = e0 · 0,2, e0,2 ≈ 1 + 0,2 = 1,2.

Итак, e0,2 ≈ 1,2. Более того, при малых x и x = 0 мы получим формулу

e x ≈ 1 + x.

В случае применения формулы (4.18) важно правильно выбрать точку x и x.

Определение 4.9. Функция y = f(x) имеет в точке x0 локальный минимум, если существует δ-окрестность (x0 − δ, x0 + δ) такая, что x (x0 − δ, x0 + δ) f(x) f(x0).

Определение 4.10. Локальные максимумы и локальные минимумы функции называются локальными экстремумами.

Аналогичным образом можно ввести понятия строгих локальных экстремумов.

Локальными называются свойства функции, которые имеют место в некоторой окрестности той или иной точки.

Из определения локального максимума и минимума следует, что эти понятия имеют локальный характер в том смысле, что неравенство f(x) f(x0) (f(x) f(x0)) может и не выполняться для всех значений в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой δ-окрестности точки x0. Следовательно, функция f может иметь несколько локальных экстремумов (рис. 4.4).

Теорема 4.6 (Ферма). Пусть функция f определена на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 (a, b) имеет локальный экстремум. Тогда если в точке x0 существует производная, то она равна нулю, т.е. f (x0) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если в точке x0 (a, b) функция имеет локальный минимум или максимум (рис. 4.5), то касательная в этой точке к графику функции y = f(x) параллельна оси Ox, т.е. угол наклона касательной к оси Ox равен нулю, и f (x0) = tg 0 = 0.

Теорема 4.7 (Ролля). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и на концах отрезка [a, b] принимает равные значения: f(a) = f(b). Тогда существует точка c (a, b), в которой f (c) = 0.

Геометрический смысл теоремы 4.7 заключается в том, что у графика непрерывной на отрезке [a, b] функции, принимающей на концах равные значения и дифференцируемой на (a, b), существует точка (c, f(c)), в которой касательная параллельна оси Ox (рис. 4.6). Иначе говоря, такая функция внутри отрезка [a, b] будет иметь экстремум (например, в точке c (a, b)) и по теореме Ролля f (c) = 0.

y f(a) = f(b)

f(c)

Теорема 4.8 (Лагранжа). Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b), то существует точка c (a, b) такая, что справедлива формула

Перейдем к рассмотрению геометрического смысла теоремы Лагранжа (рис. 4.7).

Из MKN имеем:

т.е. левая часть равенства (4.19) есть тангенс угла наклона секущей MN к оси Ox. Правая часть равенства (4.19) есть тангенс угла наклона касательной в некоторой точке c (a, b). Таким образом,

теорема Лагранжа утверждает, что найдется точка c (a, b), в которой касательная к графику функции параллельна секущей, соединяющей концы графика функции (точки (a, f(a)) и (b, f(b))).

Соотношение (4.19) можно записать в виде

Формулу (4.20) называют формулой конечных приращений.

Теорема 4.9 (Коши). Если функции f и g непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), причем g (x) = 0, то существует точка c (a, b) такая, что справедливо равенство

4.3.Правило Лопиталя. Понятие о формуле Тейлора

4.3.1. Правило Лопиталя

Теорема 4.10 (правило Лопиталя). Пусть функции f и g

определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a. Пусть функции f и g являются БМФ при x → a и g (x) = 0 в окрестности точки a. Тогда если существует

lim f (x) ,

x→a g (x)

x = a, положив f(a) = g(a) = 0. Тогда, пользуясь теоремой Коши, можно записать:

Если x → a, то и c → a. Поэтому, переходя в последнем равенстве к пределу, получаем утверждение теоремы.

В данном случае предел отношения двух БМФ сводится к пределу отношения их производных, что часто является весьма удобным приемом при вычислении пределов. Проиллюстрируем это на примере.

Пример 4.12. Найти lim sin 4x. x→0 tg 2x

Р е ш е н и е. В данном случае условия правила Лопиталя выполняются. Функции f(x) = sin 4x и g(x) = tg 2x являются дифференцируемыми функциями, например на интервале (−π/4, π/4), и f(0) = g(0) = 0. Применим формулу (4.21):

Таким образом, первоначально мы имеем неопределенность вида 0/0. После перехода к пределу отношения производных такая неопределенность уже отсутствует.

Если функции f и g дважды дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, f(a) = g(a) = f (a) = g (a) = 0 и существует

lim f (x) ,

x→a g (x)

218 Глава 4. Дифференциальное исчисление

При решении последнего примера можно воспользоваться формулой (4.22), положив n = 3.

Правило Лопиталя остается в силе и в случае a = ∞ или a = ±∞. В частности, если функции f и g являются БМФ при x → ∞ и

f(x)/g(x), когда функции f(x) и g(x) являются БМФ при x → a. Теперь рассмотрим такой же предел, когда функции f(x) и g(x) являются ББФ при x → a. Можно показать, что в этом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 4.10. При этом можно полагать, что a = ∞ или a = ±∞.

Пример 4.14. Найти lim ln2 x.

x→+∞ x

Ре ш е н и е. Функции f(x) = ln2 x и f(x) = x являются ББФ при x → +∞. Применим правило Лопиталя:

Очевидно, что целесообразно еще раз применить правило Лопиталя. Получим: