Е. А. Ровба - Высшая математика

Определение 4.13. Формула (4.23) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Формула Тейлора (4.23) позволяет заменить функцию f(x) многочленом Тейлора (4.24):

f(x) ≈ Pn(x)

с погрешностью, равной значению остаточного члена Rn(x). Если в формуле (4.23) положить x0 = 0, то получим:

где c находится между 0 и x.

Определение 4.14. Формула (4.26) называется формулой Маклорена.

Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых элементарных функций:

Для нахождения числа e с точностью 0,001 определим n из условия, что остаточный член ec/(n + 1)! должен быть меньше 0,001. Так как 0 < c < 1, то ec < e1 < 3, поэтому неравенство ec/(n + 1)! < 0,001 выполняется начиная с n = 6:

т.е. e ≈ 2,718.

4.4.Исследование функции с помощью производной

4.4.1. Условие постоянства функции

Теорема 4.12. Пусть функция f непрерывна на интервале (a, b) и имеет внутри него производную f (x). Для того чтобы функция f(x) была постоянной на интервале (a, b), необходимо и достаточно, чтобы f (x) = 0 внутри этого интервала.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если f(x) = C, то для всякого x (a, b) верно, что f (x) = (C) = 0.

Достаточность. Пусть f (x) = 0 для всех x (a, b). Фиксируем некоторую точку x0 (a, b) и возьмем произвольное x (a, b). К разности f(x) − f(x0) можно применить формулу конечных приращений (4.20):

f(x) − f(x0) = f (c)(x − x0),

где c — некоторая точка, находящаяся между x и x0. Но по условию f (c) = 0. Следовательно, f(x) = f(x0) для каждого x (a, b).

4.4.2.Достаточное условие монотонности функции

Рассмотрим достаточное условие строгой монотонности непрерывной функции на промежутке.

Теорема 4.13. Если функция f дифференцируема на интервале (a, b), f (x) > 0 (f (x) < 0) для всех x (a, b), то функция f является строго возрастающей (строго убывающей) на интервале (a, b).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, например, f (x) > 0 на (a, b). Тогда возьмем произвольные точки x1, x2 (a, b), x1 < x2. На отрезке [x1, x2] к функции f применима формула конечных приращений (4.20):

f(x2) − f(x1) = f (c)(x2 − x1),

где c (x1, x2).

Поскольку f (c) > 0 и x2 − x1 > 0, то f(x2) > f(x1), т.е. функция f на интервале (a, b) является возрастающей.

Пример 4.16. Найти промежутки возрастания и убывания функции y = 4x3 + 9x2 + 6x + 2.

Р е ш е н и е. Рассматриваемая функция определена на числовой прямой. Найдем ее производную: y = 12x2 + 18x + 6 = 6(2x2 + 3x + 1).

Определим интервалы знакопостоянства производной. С этой целью решим уравнение 2x3+3x+1 = 0 и получим: x1 = −1, x2 = −1/2.

Будем иметь: если x (−∞, −1) (−1/2, +∞), то y > 0; если же x (−1, −1/2), то y < 0. Значит, на промежутках (−∞, −1) и (−1/2, +∞) функция возрастает, а на промежутке (−1, −1/2) — убывает.

4.4.3.Необходимые и достаточные условия локального экстремума

Теорема 4.14 (необходимое условие экстремума). Пусть функция f определена на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 (a, b) имеет локальный экстремум. Тогда если в точке x0 существует производная, то она равна нулю, т.е. f (x0) = 0.

Заметим, что приведенное условие повторяет теорему Ферма. Другими словами, теорема Ферма является необходимым условием экстремума функции.

Определение 4.15. Стационарной точкой функции f называется точка, в которой производная f (x) равна нулю.

Если f — дифференцируемая на некотором промежутке функция, то точками экстремума могут быть лишь стационарные точки. Однако не каждая стационарная точка является точкой экстремума. Например, функция y = x3 имеет стационарную точку x = 0 (y = 3x2), но очевидно, что эта точка не является точкой экстремума. Поэтому целесообразно найти достаточные условия локального экстремума.

Теорема 4.15 (первое достаточное условие экстремума).

Пусть функция f дифференцируема в некоторой δ-окрестности точ-

всей δ-окрестности один и тот же знак, то в точке x0 локального экстремума нет.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть производная меняет знак при переходе через точку x0 с плюса на минус, т.е. x (x0 − δ, x0) f (x) > 0 и x (x0, x0 + δ) f (x) < 0. Тогда, учитывая достаточное условие монотонности, получаем, что функция f возрастает на интервале (x0 − δ, x0), т.е. f(x0) > f(x) для всех x (x0 − δ, x0), и убывает на интервале (x0, x0 + δ), т.е. f(x0) < f(x) для всех x (x0, x0 + δ).

Из последних двух неравенств и определения 4.8 следует, что x0 — точка локального максимума функции f.

Аналогично рассматривается случай, когда производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку x0.

Пусть теперь производная не меняет знак при переходе через точку x0. Предположим, например, что x (x0 − δ, x0 + δ) f (x) > 0. Тогда по теореме 4.13 функция f возрастает на интервале (x0 − δ, x0 + δ). Будем иметь: x (x0 − δ, x0) f(x) < f(x0) и x (x0, x0 + δ) f(x) > f(x0). Следовательно, точка x0 не является точкой локального экстремума.

Условия теоремы можно интерпретировать следующим образом. Если производная f (x) меняет знак при переходе через точку x0, то функция f имеет в точке x0 локальный экстремум, причем если производная меняет знак с плюса на минус, то точка x0 является точкой максимума, если же с минуса на плюс, — точкой минимума. Очевидно, что теорема 4.15 имеет простой геометрический смысл.

Пример 4.17. Найти точки экстремума функции

y= x3 + 3x2 − 9x + 1.

Ре ш е н и е. Данная функция дифференцируема на всей числовой прямой. Найдем ее производную:

y = 3x2 + 6x − 9 = 3(x2 + 2x − 3).

Приравнивая производную к нулю, находим стационарные точки функции: x1 = −3, x2 = 1, которые являются точками возможного локального экстремума.

Воспользуемся первым достаточным условием экстремума. Для этого изучим знак производной при переходе через эти точки. Очевидно, что f (x) > 0 для всех x (−∞, −3) (1, +∞) и f (x) < 0 для всех x (−3, 1).

Следовательно, в точке x1 = −3 рассматриваемая функция имеет локальный максимум, y(−3) = 28, а в точке x2 = 1 — локальный минимум, y(1) = −4.

Часто при исследовании точек возможного локального экстремума удобно применять следующую теорему.

Теорема 4.16 (второе достаточное условие экстремума).

Пусть точка x0 есть стационарная точка функции f, в которой существует вторая производная f (x0). Тогда если f (x0) < 0, то точка x0 является точкой локального максимума функции f, если f (x0) > 0, то точка x0 является точкой локального минимума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя определение второй производной, можем записать:

Пусть, например, f (x0) > 0. Тогда по теореме 3.20 в некоторой окрестности точки x0 будет выполняться и следующее неравенство:

f (x0 + x) > 0. x

Вследствие этого если x < 0, то f (x0 + x) < 0; если же x > 0, то f (x0 + x) > 0, т.е. при переходе через точку x0 производная меняет знак с «−» на «+». А это означает , что x0 — точка локального минимума (см. теорему 4.15).

Аналогично рассматривается случай, когда f (x0) < 0.

Второе достаточное условие экстремума удобно тем, что в данном случае исследуется знак второй производной f (x) только в самой стационарной точке.

Обратимся теперь к примеру 4.17. Найдем вторую производную функции y: y = 6(x + 1). Очевидно, что y (−3) = −12 < 0, y (1) = 12 > 0. Следовательно, в соответствии со вторым достаточным условием тоже можно сделать заключение, что точка x = −3 является точкой локального максимума, а точка x = 1 — точкой локального минимума.

4.4.4.Наибольшее и наименьшее значения функции

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b]. По второй теореме Вейерштрасса функция f принимает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. Поставим вопрос об их отыскании. Пусть, например, требуется отыскать наибольшее значение функции f. Тогда нужно найти все точки локального максимума и значения функции в этих точках. Наибольшее значение может достигаться также на одном из концов отрезка, поэтому, сравнив значения функции во всех точках локального максимума и значения f(a), f(b), найдем наибольшее из них. Оно и будет наибольшим значением функции f на отрезке [a, b].

226 Глава 4. Дифференциальное исчисление

Аналогично находится наименьшее значение функции f на отрезке [a, b].

Если функция f дифференцируема на интервале (a, b), то можно поступить следующим образом: найти все стационарные точки функции f на (a, b), вычислить значения функции в стационарных точках и значения f(a), f(b); наименьшее из них будет наименьшим значением функции на отрезке [a, b], а наибольшее из них — наибольшим значением функции.

Задача об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции часто возникает в приложениях, в том числе в экономике.

4.4.5. Выпуклые функции

Пусть функция f дифференцируема на интервале (a, b). Тогда в каждой точке ее графика существует касательная.

Определение 4.16. Функция f называется выпуклой вверх (выпуклой) на интервале (a, b), если ее график расположен ниже любой касательной на (a, b) (рис. 4.8).

Определение 4.17. Функция f называется выпуклой вниз (вогнутой) на интервале (a, b), если ее график расположен выше любой касательной на (a, b) (рис. 4.8).

Теорема 4.17 (достаточное условие выпуклости). Если функция f имеет на интервале (a, b) вторую производную и f (x) > 0 (f (x) < 0) во всех точках x (a, b), то функция f выпукла вниз (выпукла вверх) на интервале (a, b).

произвольную точку x0 (a, b). Запишем уравнение касательной к графику функции f в точке (x0, f(x0)) (см. формулу (4.2)):

Теперь запишем формулу Тейлора для функции f в точке x0 с остаточным членом в форме Лагранжа (4.23), n = 1:

Поскольку правые части соотношений (4.28) и (4.29) совпадают, то из сравнения их левых частей следует, что значение y ординаты касательной меньше значения функции в точке x. Значит, график функции f находится выше касательной, а функция f является выпуклой вниз.

Аналогично рассматривается случай, когда f (x) < 0.

Определение 4.18. Точка (x0, f(x0)), x0 (a, b), называется точкой перегиба непрерывной функции f, если слева и справа от этой точки функция f имеет разные направления выпуклости.

Так, например, точка O(0, 0) является точкой перегиба функции y = x3. Поскольку y = 6x и y < 0, x (−∞, 0), и y > 0, x (0, +∞), то на промежутке (−∞, 0) функция y = x3 — выпуклая вверх, а на промежутке (0, +∞) — выпуклая вниз и точка x = 0 является точкой, разделяющей промежутки выпуклости разной направленности.

Теорема 4.18 (необходимое условие точки перегиба).

Пусть точка (x0, f(x0)), x0 (a, b), является точкой перегиба функции f. Тогда если в точке x0 функция f имеет вторую производную, то f (x0) = 0.

Таким образом, условие f (x) = 0 играет такую же роль в отношении точек перегиба, как условие f (x) = 0 — в отношении

точек локального экстремума. Оно необходимо, но не достаточно. Так, например, функция f(x) = x4 имеет вторую производную f (x) = 12x2, f (0) = 0, но точка O(0, 0) не является точкой перегиба функции, поскольку f (x) 0, x (−∞, +∞), и функция f выпуклая вниз на всей числовой оси.

Не будем проводить доказательство теоремы 4.18. Заметим лишь, что, например, при условии существования непрерывной второй производной в окрестности точки x0 является вполне естественным ее

равенство нулю в этой точке, так как с одной стороны от точки x0 f (x) 0, а с другой стороны от точки x0 f (x) 0.

Теорема 4.19 (достаточное условие точки перегиба).

Пусть функция f имеет вторую производную f (x) в некоторой окрестности точки x0. Тогда если вторая производная f (x) имеет разные знаки слева и справа от точки x0, то точка (x0, f(x0)) является точкой перегиба графика функции f.

Действительно, если производная f (x) имеет разные знаки слева и справа от точки x0, то по теореме 4.17 это означает, что функция f является выпуклой с разной направленностью слева и справа от точки x0, т.е. точка (x0, f(x0)) есть точка перегиба графика функции f.

4.4.6. Асимптоты графика функции

Определение 4.19. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов

Так, график функции y = 1/x имеет вертикальную асимптоту x = 0, потому что

Пусть теперь функция f определена на промежутке (a, +∞).