Е. А. Ровба - Высшая математика
.pdf
160 Глава 3. Предел последовательности и функции
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция α(x) бесконечно малая. Согласно определению для всякого ε > 0, в том числе и для ε = 1,
δ > 0 x, 0 < |x − a| < δ, |α(x)| < ε = 1.
Итак, α(x) ограничена числом 1 в δ-окрестности точки a.
3. Произведение бесконечно малой функции при x → a и функции, ограниченной в некоторой окрестности точки a, есть бесконечно малая функция при x → a.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть α(x) — БМФ при x → a, f(x) — ограниченная в некоторой окрестности точки a функция. Докажем, что произведение α(x)f(x) есть БМФ.
По условию существует δ1 > 0 такое, что функция f(x) ограничена в δ1-окрестности точки a. Отсюда следует:
M > 0 x, 0 < |x − a| < δ1, |f(x)| < M.
Пусть ε — произвольное положительное число. Так как α(x) — БМФ при x → a, то для всякого положительного числа, в том числе и для ε/M,
δ2 > 0 x, 0 < |x − a| < δ2, |α(x)| < |
ε |
|
|
. |
|
M |
||
Положим теперь δ = min{δ1, δ2}. Тогда при 0 < |x − a| < δ окажется, что
|α(x)f(x)| = |α(x)| · |f(x)| < Mε M = ε,
откуда следует, что α(x)f(x) есть БМФ.
4. Произведение конечного числа БМФ есть БМФ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость этого свойства следует из свойств 2 и 3. 
5. Произведение БМФ на постоянную есть БМФ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что постоянная функция ограничена, и применим свойство 3. 
3.3. Предел функции. Два замечательных предела |
161 |
|
|
3.3.5. Бесконечно большие функции
Определение 3.49. Функция f(x) называется бесконечно большой при x → a (ББФ), если для любого числа A > 0 существует такое δ > 0, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x − a| < δ, выполняется неравенство |f(x)| > A, т.е.
A > 0 δ > 0 x, 0 < |x − a| < δ, |f(x)| > A.
В этом случае применяется обозначение
lim f(x) = ∞.
x→a
Если известно, что при 0 < |x − a| < δ функция f(x) принимает только положительные (отрицательные) значения, то данное обозначение может быть дополнено путем указания знака бесконечности:
x→a f(x) = +∞ |
x→a |
−∞ |
. |
lim |
lim f(x) = |
|
Замечание 3.7. Не следует забывать указывать точку, в которой функция является бесконечно большой. Например, функция y = 1/(x − 2) является бесконечно большой при x → 2, но не является бесконечно большой при x → 1.
Свойства бесконечно больших функций
1.ББФ при x → a не ограничена ни в какой окрестности точки x = a.
2.Произведение ББФ при x → a и функции, имеющей ненулевой предел при x → a, есть ББФ при x → a.
3.Частное ББФ при x → a и функции, имеющей предел при x → a, есть ББФ при x → a.
4.Произведение двух ББФ при x → a есть ББФ при x → a.
5.Сумма ББФ при x → a и ограниченной в некоторой окрестности точки a функции есть ББФ при x → a.
Связь между БМФ и ББФ характеризует следующая теорема.
162 |
Глава 3. Предел последовательности и функции |
|
|
Теорема 3.8. Если α(x) — БМФ при x → a, причем α(x) = 0 при x = a, то 1/α(x) — ББФ при x → a. И обратно, если f(x) — ББФ при x → a, то 1/f(x) — БМФ при x → a.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть α(x) — такая БМФ, что α(x) = 0 при x = a. Зафиксируем A > 0. По определению БМФ для всякого ε > 0, в том числе для ε = 1/A,
δ > 0 x, 0 < |x − a| < δ, |α(x)| < ε = A1 .
При этом |1/α(x)| > 1/ε = A. Значит, функция 1/α(x) бесконечно большая.
Пусть f(x) есть ББФ. Зафиксируем произвольное ε > 0. По определению ББФ для всякого A > 0, в том числе для A = 1/ε,
δ > 0 x, 0 < |x − a| < δ, |f(x)| > A = 1ε .
В таких условиях |1/f(x)| < 1/A = ε, т.е. функция 1/f(x) бесконечно малая. 
3.3.6. Свойства предела функции
При исследовании свойств предела функции мы будем пользоваться рассмотренными ранее свойствами БМФ.
1. Функция f(x) имеет предел b при x → a тогда и только тогда, когда разность α(x) = f(x) − b является БМФ при x → a.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению функция f(x) имеет предел b в точке a тогда и только тогда, когда
ε > 0 δ > 0 x, 0 < |x − a| < δ, |f(x) − b| < ε.
А это равносильно тому, что функция α(x) = f(x)−b бесконечно малая при x → a. 
2. Если у функции f(x) есть предел при x → a, то этот предел единственный.
3.3. Предел функции. Два замечательных предела |
163 |
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Пусть |
||
lim f(x), |
c = lim f(x), |
b = c. |
b = x→a |
x→a |
|
Тогда по свойству 1
f(x) = b + α(x), f(x) = c + β(x),
где α(x), β(x) — БМФ при x → a. Приравняем правые части:
b + α(x) = c + β(x), b − c = β(x) − α(x).
По свойству 1 БМФ сумма β(x)−α(x) двух БМФ является БМФ:
lim β(x) − α(x) = 0.
x→a
Следовательно,
b − c = 0.
Значит, b = c, что и доказывает единственность предела.
3. Функция, имеющая предел при x → a, ограничена в некоторой окрестности точки a.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По свойству 1 имеющая предел b в точке a функция f представима в виде f(x) = b + α(x), где α(x) — БМФ при x → a. По свойству 2 БМФ α(x) ограничена в некоторой δ-окрестности точки a, т.е.
M > 0 x, 0 < |x − a| < δ, |α(x)| M.
Тогда в той же окрестности
|f(x)| = |b + α(x)| |b| + |α(x)| |b| + M.
Таким образом, функция f в δ-окрестности точки a ограничена числом M1 = |b| + M. 
4.Произведение функции, имеющей предел при x → a, на БМФ при x → a есть БМФ при x → a.
164 Глава 3. Предел последовательности и функции
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция, имеющая предел при x → a, по свойству 3 ограничена в некоторой окрестности точки a. Значит, по свойству 3 БМФ произведение ее и БМФ при x → a является БМФ при x → a. 
5. Если функция f(x) имеет отличный от нуля предел при x → a, то функция 1/f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
lim f(x) = b, b = 0.
x→a
По свойству 1 имеет место представление f(x) = b + α(x), где α(x) — БМФ при x → a. По определению БМФ для всякого ε > 0, в том числе для ε = |b|/2,
|
|
|
|
δ > 0 |
|
x, 0 < |
| |
x |
− |
a |
| |
< δ, |
| |
α(x) < ε = |
|b| |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
Тогда для тех же x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1α(x) |
b |
1 b /2 = |
b1/2 = |
2 |
|
|||||||||
f(x) |
|
b + α(x) b |
|
|
b . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
| | | − | |
|
|
| |
|
| | − | | |
| | |
|
|
| | |
|||||||||
Следовательно, |
в δ-окрестности точки a функция 1/f(x) ограни- |
||||||||||||||||||||||||||
чена числом M = 2/|b|.
6. Отношение БМФ при x → a и функции, имеющей отличный от нуля предел при x → a, есть БМФ при x → a.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть α(x) — БМФ при x → a, f(x) имеет отличный от нуля предел при x → a. Тогда функция
α(x) |
= α(x) |
1 |
|
f(x) |
f(x) |
||
|
является бесконечно малой при x → a как произведение БМФ и ограниченной в силу свойства 5 функции. 
7. Пусть lim f(x) = b и lim g(x) = c. Тогда:
x→a |
x→a |
3.3. Предел функции. Два замечательных предела |
|
|
165 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
lim |
|
|
|
|
|
lim |
− g(x) = b − c; |
||||
|
x→a f(x) + g(x) = b + c; |
б) x→a f(x) |
||||||||||
в) |
lim f(x)g(x) = bc; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) lim |
f(x) |
|
= |
b |
(при условии, что c = 0). |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→a g(x) |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. По свойству 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
f(x) − b = α(x), g(x) − c = β(x), |
|
|
||||
где α(x), β(x) — БМФ при x → a. |
|
|
|
|
||||||||
|
Для доказательства пункта а) по свойству 1 достаточно показать, |
|||||||||||
что разность |
f(x) + g(x) |
− |
(b + c) является БМФ при x |
→ |
a. В самом |
|||||||
деле, |
|
|
|
|
|
|
||||||
f(x) + g(x) − (b + c) = f(x) − b + g(x) − c = α(x) + β(x).
По свойству 1 суммы БМФ α(x)+β(x) является БМФ при x → a. Доказательство пункта б) проводится аналогично.
Переходя к пункту в), заметим, что
f(x)g(x) − bc = f(x)g(x) − f(x)c + f(x)c − bc =
= f(x) g(x) − b + c f(x) − b = f(x)β(x) + cα(x).
Правая часть последнего равенства есть БМФ при x → a как сумма двух БМФ. Действительно, функция f(x)β(x) бесконечно малая по свойству 4, а функция cα(x) бесконечно малая по свойству 5 БМФ.
Пункт г) доказываем по аналогичной схеме:
f(x) |
|
b |
= |
cf(x) − bg(x) |
= |
|
cf(x) − bc + bc − bg(x) |
|
= |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
g(x) |
− c |
cg(x) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
cg(x) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
c f(x) − b − b g(x) − c |
|
|
= |
cα(x) − bβ(x) |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cg(x) |
|
|
cg(x) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Согласно пункту в) предел знаменателя равен c2 = 0. Числитель является БМФ. Тогда по свойству 6 вся дробь — БМФ при x → a. 
166 |
Глава 3. Предел последовательности и функции |
|
|
8 (о пределе промежуточной функции). Пусть функции f(x), g(x), ϕ(x) определены в некоторой окрестности точки x = a, кроме, быть может, самой точки a, и удовлетворяют неравенствaм
f(x) ϕ(x) g(x).
Пусть lim f(x) = lim g(x) = b. Тогда lim ϕ(x) = b.
x→a |
x→a |
x→a |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем произвольное число ε > 0.
Так как lim f(x) = b, то
x→a
δ1 > 0 x, 0 < |x − a| < δ1, |f(x) − b| < ε,
или b − ε < f(x) < b + ε. Поскольку также lim g(x) = b, то
x→a
δ2 > 0 x, 0 < |x − a| < δ2, |g(x) − b| < ε,
или b − ε < f(x) < b + ε.
Пусть δ = min{δ1, δ2}. Тогда для 0 < |x − a| < δ b − ε < f(x) ϕ(x) g(x) < b + ε,
или |ϕ(x) − b| < ε, т.е. lim ϕ(x) = b.
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.37. Найти lim |
x2 + 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x→0 |
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р е ш е н и е. Здесь можно применить свойство 7: |
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
lim (x2 + 1) |
|
lim x 2 + lim 1 |
|
|
|
||||||||
lim |
x + 1 |
= |
x→0 |
|
= |
x→0 |
x→0 |
|
= |
0 + 1 |
= |
1 |
. |
||
|
lim (x + 2) |
|
lim x + lim 2 |
|
|
2 |
|||||||||
x→0 x + 2 |
|
|
0 + 2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||
Пример 3.38. Найти lim |
x3 − 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x→1 |
x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р е ш е н и е. Очевидно, что |
x→1(x − 1) = |
0, поэтому свойство |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||
предела частного здесь применить нельзя. Отметим также, что и |
|||||||||||||||
|
|
|
lim (x3 |
− |
1) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.3. Предел функции. Два замечательных предела |
167 |
|
|
Значит, нельзя применить теорему 3.8 о том, что функция, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой. Преобразуем выражение под знаком предела:
x3 − 1 |
= |
(x − 1)(x2 + x + 1) |
= x2 + x + 1, |
x = 1. |
||||
x |
− |
1 |
|
x |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку при рассмотрении предела функции в точке x = 1 ее аргумент не принимает значения, равного единице, то
lim |
x3 − 1 |
= lim (x2 + x + 1) = 3. |
|
x − 1 |
|||
x→1 |
x→1 |
||
|
3.3.7. Замечательные пределы
Теорема 3.9. Справедливо равенство
lim |
sin x |
= 1. |
(3.8) |
|
x |
||||
x→0 |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. При x → 0 числитель и знаменатель стремятся к нулю, поэтому свойство предела частного здесь неприменимо.
Построим окружность радиуса r = 1. Возьмем центральный угол с радианной мерой, равной x, где x (0, π/2). Выполним соответствующие построения (рис. 3.47).
y 
1
B
x |
D |
O A C |
x |
Рис. 3.47
Очевидно, что AB < BC < BD. Но AB = sin x, BC = x, BD = tg x, поэтому sin x < x < tg x. Преобразуем данное соотношение:
1 < |
x |
< |
1 |
, |
cos x < |
sin x |
< 1. |
|
sin x |
cos x |
x |
||||||
|
|
|
|
|
168 Глава 3. Предел последовательности и функции
В силу четности входящих в эти неравенства функций они справедливы и при x (−π/2, 0). Заметив, что
lim cos x = 1,
x→0
и применив свойство предела промежуточной функции, получим требуемое равенство (3.8). 
Определение 3.50. Равенство (3.8) называется первым замечательным пределом.
Следующие соотношения являются следствиями первого замечательного предела:
lim |
tg x |
= 1, |
lim |
arcsin x |
|
= 1, lim |
arctg x |
= 1. |
|||
x |
x |
x |
|||||||||
x→0 |
|
x→0 |
|
x→0 |
|
||||||
Теорема 3.10. Справедливо равенство |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
x |
= e. |
|
(3.9) |
|||
|
|
|
x→∞ 1 + x |
|
|
||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 3.51. Равенство (3.9), представляющее собой обобщение уже известного предела (3.4), называется вторым замечательным пределом.
Часто встречаются следствия второго замечательного предела:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (1 + x) x = e, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а также |
|
loga(1 + x) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ax − 1 |
|
|
|||
lim |
|
= |
, |
lim |
|
= ln a, |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
ln a |
x→0 |
x |
|
|
|
||
|
|
lim |
(1 + x)k − 1 |
= k, |
k > 0. |
|
||||||||||
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
В частности, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex − 1 |
|
|
|
|
|
lim |
ln(1 + x) |
|
= 1, |
|
lim |
= 1. |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
x→0 |
x |
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
||||||
Пример 3.39. Найти lim |
|
sin 3x |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
(3.10)
(3.11)
3.3. Предел функции. Два замечательных предела |
169 |
|
|
Р е ш е н и е. Первый способ. Чтобы воспользоваться первым замечательным пределом, в выражении под знаком предела выполним замену переменной, полагая 3x = t, x = t/3:
lim |
sin 3x |
= lim |
sin t |
|
= 3 lim |
sin t |
= 3. |
|
x |
|
|
|
|||||
x→0 |
t→0 t/3 |
t→0 t |
|
|||||
Второй способ. Преобразуем выражение под знаком предела:
lim |
sin 3x |
= lim |
sin 3x |
· |
3 = 3 lim |
sin 3x |
= 3 |
· |
1 = 3. |
||
x |
3x |
|
3x |
||||||||
x→0 |
x→0 |
x→0 |
|
|
|||||||
Пример 3.40. Найти lim (1 + 2x)1/x.
x→0
Р е ш е н и е. Здесь удобно использовать замену 2x = t, чтобы свести этот предел к следствию второго замечательного предела (3.10). Действительно, в этом случае имеем, что если x → 0, то t → 0. Значит,
lim (1 + 2x)1/x = lim(1 + t)2/t = lim(1 + t)1/t(1 + t)1/t = e2.
x→0 |
t→0 |
t→0 |
3.3.8.Эквивалентные бесконечно малые функции
С целью сравнения значений двух бесконечно малых при x → a функций в окрестности точки a вводится следующее определение.
Определение 3.52. Две бесконечно малые при x → a функции
α(x) и β(x) называются эквивалентными в окрестности точки a, если
lim α(x) = 1.
x→a β(x)
В этом случае пишут α(x) β(x) при x → a.
Таблицей эквивалентностей называется приведенный ниже список часто встречаемых пар эквивалентных БМФ. Если α(x) — БМФ при x → x0, то при x → x0: