Е. А. Ровба - Высшая математика

называемых соответственно основной матрицей, вектором неизвестных и вектором свободных членов. Расширенной матрицей называется матрица

получаемая присоединением к основной матрице вектор-столбца свободных членов.

Система (1.10) может быть переписана в так называемой матричной форме:

где A, X, B — соответственно основная матрица, вектор неизвестных и вектор свободных членов.

Определение 1.40. Решением системы (1.10) называется набор значений неизвестных

x1 = c1, x2 = c2, . . . , xn = cn,

обращающих все уравнения системы в верные равенства. Решить систему — значит найти все ее решения.

Определение 1.41. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение 1.42. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Определение 1.43. Каждое отдельное решение неопределенной системы называется частным. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Определение 1.44. Две системы называются эквивалентными, если совокупности их решений совпадают. В частности, любые две несовместные системы считаются эквивалентными.

Нетрудно убедиться в том, что, не нарушая эквивалентности, можно выполнять элементарные преобразования над строками (но не над столбцами) расширенной матрицы системы.

Определение 1.45. Однородной называется система линейных уравнений, свободные члены bi уравнений которой равны нулю. В противном случае, т.е. когда хотя бы один из свободных членов bi отличен от нуля, система называется неоднородной.

Однородная система всегда совместна, так как имеет по крайней мере одно тривиальное, или нулевое, решение:

1.2.2. Матричный метод

Предположим, что основная матрица A системы (1.10) квадратная и невырожденная. Тогда существует обратная матрица A−1. Умножив левую и правую части системы в матричной форме (1.11) слева на A−1, получим:

A−1(AX) = A−1B, (A−1A)X = A−1B, EX = A−1B, X = A−1B.

Единственность найденного решения X гарантируется единственностью обратной матрицы A−1.

Определение 1.46. Метод решения системы линейных уравнений AX = B с невырожденной квадратной матрицей A по формуле

X = A−1B называется матричным.

x − y + z = 6,

Пример 1.26. Решить систему уравнений 2x + y + z = 2,

x + y + 2z = 1.

Матрицу A мы уже рассматривали в примере 1.22, где убедились, что она невырожденная, и нашли обратную ей матрицу

1 10 2

=5 −15 = −3 .

51

Итак, x = 2, y = −3, z = 1 — решение системы. Чтобы убедиться в его правильности, выполним проверку:

x − y + z = 2 − (−3) + 1 = 6,

2x + y + z = 2 · 2 + (−3) + 1 = 2,

x + y + 2z = 2 + (−3) + 2 · 1 = 1.

Как это и требуется, все уравнения системы обратились в верные равенства.

Замечание 1.11. Матричный способ является весьма трудоемким с вычислительной точки зрения, так как требует отыскания обратной матрицы, что влечет за собой вычисление n2 + 1 определителей (помимо последующей операции умножения).

1.2.3. Метод Крамера

Теорема 1.5. Единственное решение системы линейных уравнений AX = B с невырожденной квадратной матрицей A = (aij ) можно получить по формулам:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся матричной формой записи решения X = A−1B, представлением обратной матрицы (1.6) и

определителя (1.14) по элементам i-го столбца, откуда и следует справедливость формул (1.13).

Определение 1.47. Формулы (1.13) называются формулами Крамера. Метод решения системы линейных уравнений с квадратной невырожденной матрицей по формулам Крамера называется методом Крамера.

Пример 1.27. Решить систему линейных уравнений из примера 1.26 методом Крамера.

Р е ш е н и е. Определитель основной матрицы системы в данном случае совпадает с определителем, рассмотренным в примере 1.12, где

Замечание 1.12. Метод Крамера требует отыскания определителя системы и n определителей i. Это делает его, как и матричный метод, весьма трудоемким.

1.2.4. Метод Гаусса

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений состоит в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований, выполняемых над строками расширенной матрицы системы.

Будучи универсальным и вычислительно эффективным, метод Гаусса чаще всего применяется на практике. Его принято представлять в виде двух этапов: прямого хода и обратного хода.

Прямой ход состоит в последовательном исключении неизвестных. Для определенности будем считать, что в системе линейных уравнений

+ a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1,

+ a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2,

ai1 при переменной x1 какой-либо ненулевой коэффициент и поменяем местами содержащую его строку с первой строкой. Такой ненулевой коэффициент обязательно найдется, поскольку в противном случае неизвестная x1 не входила бы в систему. Теперь исключим переменную x1 из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого будем умножать обе части первого уравнения поочередно на следующие

и прибавлять получаемые результаты к соответствующим частям второго, третьего и всех остальных уравнений системы.

Впроцессе исключения неизвестных можно получить уравнения,

вкоторых все коэффициенты при неизвестных равны нулю. Если среди таких уравнений найдется хотя бы одно, свободный член которого не равен нулю, то система несовместна, поскольку рассматриваемое уравнение не может обратиться в верное равенство ни при каких значениях неизвестных. В таком случае решение завершается. Те уравнения с нулевыми коэффициентами, свободные члены которых равны

56 Глава 1. Линейная алгебра

нулю, верны независимо от значений неизвестных и поэтому просто отбрасываются.

После исключения неизвестной x1 и отбрасывания нулевых строк придем к эквивалентной системе, число строк l которой не больше

то прямой ход завершается. В противном случае система содержит другие уравнения, среди коэффициентов при неизвестных которых обязательно есть ненулевые. Для определенности будем считать, что a(2)22 = 0. Если это не так, то, меняя порядок следования неизвестных, поместим на эту позицию любой из ненулевых элементов второй строки.

Теперь посредством второго уравнения исключаем переменную x2 из всех уравнений начиная с третьего. Для этого выполняем те же операции, что и при исключении неизвестной x1. Далее последовательно исключаем остальные неизвестные.

Прямой ход завершается приведением системы к ступенчатому виду, т.е. к такой эквивалентной системе, основная матрица которой

Завершающий этап метода Гаусса, когда решается ступенчатая система (1.15), называется обратным ходом и осуществляется строго в обратном порядке по сравнению с прямым ходом. Из последнего уравнения неизвестная xr выражается через xr+1, . . . , xn. Это возможно, так как коэффициент a(rrr) не равен нулю. Затем найденное значение xr подставляется в предпоследнее уравнение системы, что позволяет выразить xr−1 через все те же xr+1, . . . , xn. Здесь мы опять исполь-

(r−1)

зуем тот факт, что коэффициент ar−1,r−1 не равен нулю. Продолжая этот процесс, выразим неизвестные x1, . . . , xr, называемые базисными, через неизвестные xr+1, . . . , xn, называемые свободными. Если в системе есть свободные неизвестные, то им можно придавать любые действительные значения, и поэтому система имеет бесконечно много решений.

Замечание 1.13. В качестве базисных можно, вообще говоря, выбирать различные наборы неизвестных. Однако очевидно, что количество базисных неизвестных в любом таком наборе будет равно r, т.е. рангу основной матрицы системы. Соответственно число свободных неизвестных всегда будет равно n − r.

Ступенчатая система (1.15), число уравнений r которой равно числу неизвестных n, называется треугольной. Треугольная система имеет единственное решение, так как не содержит свободных неизвестных.

Замечание 1.14. Как видно, совместная система уравнений имеет единственное решение при r = n и бесконечно много решений при r < n.

Замечание 1.15. При записи систем линейных уравнений, решаемых методом Гаусса, для удобства восприятия переменные с одинаковыми номерами, как правило, выравнивают, располагая их на одной вертикальной линии.

Замечание 1.16. В качестве разрешающих вовсе не обязательно выбирать коэффициенты, стоящие на главной диагонали основной матрицы системы. Мы так поступали, чтобы придать рассуждениям простой и наглядный вид. Это замечание позволяет избегать перестановки строк системы и смены порядка следования неизвестных, а также объявлять разрешающими только наиболее удобные для проведения вычислений коэффициенты (см. пример 1.28).

Полученная система ступенчатая, так как может быть приведена к виду (1.15) путем перестановки строк и смены порядка следования неизвестных. Поскольку число ее уравнений равно числу неизвестных, она имеет треугольный вид, что гарантирует единственность решения.

Выполняем обратный ход:

y = −15 = −3, z = 5 − 2y = −5 − 2(−3) = 1, 5

x = 6 + y − z = 6 + (−3) − 1 = 2.

Итак, x = 2, y = −3, z = 1.

Замечание 1.17. Для сокращения записи и увеличения наглядности преобразования прямого хода метода Гаусса часто выполняют с коэффициентами расширенной матрицей системы.

Р е ш е н и е. Будем оперировать с расширенной матрицей