Е. А. Ровба - Высшая математика

Теорема 2.4. Точка M плоскости принадлежит гиперболе (2.20) тогда и только тогда, когда абсолютная величина разности фокальных радиусов этой точки равна 2a:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Убедимся, что для всякой точки M гиперболы абсолютная величина разности фокальных радиусов равна 2a.

Из рис. 2.11 видно, что фокальные радиусы гиперболы могут быть вычислены по формулам:

определяемый знаком аргумента x. Имеем два случая:

В каждом из указанных случаев верно доказываемое равенство (2.21).

Достаточность. Покажем, что всякая точка M, абсолютная величина разности фокальных радиусов которой равна 2a, принадлежит гиперболе. В этих условиях, согласно формулам (2.22),

Как и при доказательстве теоремы 2.3, возведем левую и правую части в квадрат:

!

(x + c)2 + y2 = 4a2 ± 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2,

!

±a (x − c)2 + y2 = cx − a2.

Последнее равенство снова возведем в квадрат:

a2 (x − c)2 + y2 = (cx − a2)2,

a2x2 − 2a2cx + a2c2 + a2y2 = c2x2 − 2a2cx + a4, (a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2).

В данном случае c2 = a2 + b2. После замены a2 − c2 = −b2 будем иметь:

−b2x2 + a2y2 = −a2b2.

Деля левую и правую части полученного уравнения на −a2b2, приходим к каноническому уравнению гиперболы (2.20). Этим доказано, что точка M принадлежит гиперболе.

Поскольку для всякой гиперболы верно равенство c2 = a2 + b2, то в нашем случае b2 = c2 −a2 = 2a2 −a2 = a2, т.е. гипербола равнобочная.

Подставим координаты данной по условию точки M в канониче-

Значит, уравнение искомой гиперболы имеет вид x2 − y2 = 1.

2.2.4. Парабола

Определение 2.28. Парабола (рис. 2.13) — это геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

называмому каноническим уравнением параболы.

Из определения следует, что парабола:

1)симметрична относительно оси Ox;

2)лежит в правой полуплоскости, т.е. x 0;

3)проходит через начало координат.

фокальный радиус r равен расстоянию до директрисы d.

Если точка M(x, y) принадлежит параболе, то координаты x и y удовлетворяют каноническому уравнению (2.26). Тогда, согласно

от фокуса и директрисы, и докажем, что эта точка принадлежит параболе.

В соответствии с предположением для точки M(x, y) имеет место

Применив к правой части последнего равенства формулу разности квадратов, получим уравнение y2 = 2px, которое представляет собой каноническое уравнение параболы (2.26).

Замечание 2.5. Утверждение теоремы 2.5 может использоваться в качестве определения параболы.

2.2.5.Кривые второго порядка со смещенным центром

Центр эллипса и гиперболы, а также вершина параболы могут быть помещены в любую точку C(x0, y0) плоскости. При этом канонические уравнения соответствующих кривых преобразуются к следующему виду:

(y − y0)2 = 2p (x − x0) .

Например, эллипс с центром в точке C(3, 2) и полуосями a = 2 и b = 1 (рис. 2.17) имеет уравнение

Пример 2.15. Установить вид линии второго порядка, заданной уравнением 9x2 − 4y2 + 18x + 8y − 31 = 0.

Р е ш е н и е. Выделим в данном уравнении полные квадраты по каждой из переменных:

9(x2 + 2x + 1) − 9 − 4(y2 − 2y + 1) + 4 − 31 = 0,

Пример 2.16. Установить вид линии второго порядка, заданной уравнением x2 − 4x − 4y = 0.

Р е ш е н и е. Выделим в заданном уравнении полный квадрат по переменной x:

(x2 − 4x + 4) − 4 − 4y = 0, (x − 2)2 = 4y + 4, (x − 2)2 = 4(y + 1).

Получили каноническое уравнение параболы с вершиной в точке C(2, −1) и параметром p = 2.

Глава 3

Предел

последовательности и функции

3.1. Числовая последовательность

3.1.1. Понятие числовой последовательности

Определение 3.1. Пусть N — множество натуральных чисел. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое число xn, то говорят, что определена числовая последовательность. Числа xn, n N, называют элементами или членами последовательности. Для числовой последовательности мы будем использовать следующие обозначения:

x1, x2, . . . , xn, . . . ; {xn}; xn, n N.

Последовательности встречались при изучении математики в средней школе. Например, бесконечная геометрическая прогрессия 1, q, q2, . . . , qn, . . . , |q| < 1, является числовой последовательностью.

Определение 3.2. Последовательности {xn + yn}, {xn − yn}, {xnyn}, {xn/yn} называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {xn} и {yn} (для частного yn = 0, n N).

Определение 3.3. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число M > 0, что для любого n N