Е. А. Ровба - Высшая математика

3.1.6. Предельный переход в неравенствах

Теорема 3.2. Если

lim xn = a

n→∞

иначиная с некоторого номера xn b, то a b.

До к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Пусть a < b. По определению предела последовательности для всякого положительного числа, в том числе и для ε = b − a,

Nε N n > Nε |xn − a| < ε = b − a,

или

−(b − a) < xn − a < b − a.

Из правого неравенства получаем: для всякого n > Nε имеет место неравенство xn < b, что противоречит условию теоремы.

Замечание 3.4. Из того, что все элементы сходящейся к a последовательности {xn} строго больше b, вообще говоря, не следует строгое неравенство a > b. Например, для всякого n N верно, что 1/n > 0, однако

lim 1 = 0.

n→∞ n

Следствие 3.1. Если элементы сходящихся последовательностей {xn} и {yn} начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству xn yn, то и их пределы удовлетворяют неравенству

lim xn lim yn.

n→∞ n→∞

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, начиная с некоторого номера будем иметь, что yn − xn 0. Следовательно, по теореме 3.2

lim (yn − xn) 0,

n→∞

а по свойству 4 сходящихся последовательностей

lim yn − lim xn 0.

n→∞ n→∞

С помощью данного следствия можно доказать приведенную ниже теорему.

Теорема 3.3 (о сжатой последовательности). Пусть даны три последовательности {xn}, {yn}, {zn} и начиная с некоторого номера выполняется двойное неравенство xn yn zn. Если последовательности {xn} и {zn} имеют один и тот же предел a, то последовательность {yn} также имеет предел a.

Следующую теорему попробуйте доказать самостоятельно.

Теорема 3.4 (о сохранении знака). Если последовательность {xn} сходится к положительному числу a, то найдется такой номер N0 N, что для всех n > N0 окажется xn > 0.

3.1.7. Монотонные последовательности

Определение 3.10. Последовательность {xn} называется возрастающей, если для всех n N выполняется неравенство xn xn+1, и убывающей, если для n N верно, что xn+1 xn.

Определение 3.11. Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными.

Определение 3.12. Если для всех n N верно неравенство xn < xn+1, то последовательность {xn} называется строго возрастающей; если же для n N верно, что xn+1 < xn, — строго убывающей.

Определение 3.13. Строго возрастающие и строго убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример 3.8. Последовательность

0, 12 , 23 , . . . , n −n 1 , . . .

строго возрастающая и ограниченная. Очевидно, что она сходится, причем

lim n − 1 = 1.

n→∞ n

Пример 3.9. Последовательность 2, 4, 8, . . . , 2n, . . . строго возрастающая неограниченная. Она является ББП.

Пример 3.11. Последовательность 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . , [n/2], . . .

(напомним, что квадратные скобки обозначают целую часть числа) возрастающая, но не строго возрастающая ББП.

Оказывается, что все монотонные ограниченные последовательности обладают общим свойством — они сходятся.

Теорема 3.5. Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Таким образом, ограниченность монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходимости.

Замечание 3.5. Всякая монотонная последовательность является либо сходящейся, либо бесконечно большой (обоснуйте это самостоятельно). Однако не всякая сходящаяся последовательность является монотонной. В этом можно убедиться на примере 3.1 бесконечно малой, а значит, и сходящейся, но не монотонной последовательности.

Рассмотрим важный пример монотонной ограниченной последовательности.

Теорема 3.6. Последовательность

возрастает. Действительно, с помощью формулы бинома Ньютона (B.5) можно записать:

xn = 1 + n1 n = n Cnk n1k . k=0

Поэтому первые n слагаемых xn+1 не меньше соответствующих слагаемых xn. Учитывая, что xn+1 содержит еще одно дополнительное неотрицательное слагаемое, получим, что для любого n N верно неравенство xn < xn+1, т.е. последовательность xn возрастает.

Далее докажем, что рассматриваемая последовательность (3.1)

что и доказывает ограниченность последовательности {xn}.

Будучи монотонной и ограниченной, последовательность (3.1) сходится по теореме 3.5.

Определение 3.14. Предел последовательности (3.1), существующий в силу теоремы 3.6, обозначается буквой e и называется посто-

Число e известно как основание натуральных логарифмов. Из соотношений (3.2) и (3.3) следует, что 2 < e < 3. Можно доказать, что число e является иррациональным, e = 2,7182 . . . . Это число играет существенную роль в математике и ее приложениях.

3.1.8. Непрерывное начисление процентов

В банковской системе, как правило, практикуются дискретные проценты по вкладам. Если начальная сумма вклада составляла S0 денежных единиц, p — годовая процентная ставка, представленная в виде десятичной дроби, и проценты начисляются 1 раз в год, то каждый год вклад будет увеличиваться в (1 + p) раз. Таким образом, через t лет сумма вклада составит

S = S0(1 + p)t.

Если проценты начисляются не 1 раз в год, а n раз, то при сохранении годовой процентной ставки p сумма вклада каждый раз будет увеличиваться в (1 + p/n) раз. По прошествии t лет таких увеличений произойдет tn и сумма вклада составит

Некоторые сложные экономические процессы по своей природе подразумевают столь частое начисление процентов, что его можно

3.2. Функциональная зависимость

3.2.1. Понятие функции

При изучении явлений природы, физических, экономических и других процессов часто встречаются с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин полностью определяют значения других. Например, площадь S круга однозначно определяется значением его радиуса с помощью формулы S = πr2.

Определение 3.15. Пусть X и Y — два произвольных множества (рис. 3.4).

Y

X

Рис. 3.4

Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f поставлен в соответствие единственный элемент y из множества Y , то говорят, что задана функция f. Функцию f, как правило, обозначают y = f(x) или f : X → Y . При этом x называется независимой переменной или аргументом функции, y — зависимой переменной или значением функции. Множество X называется областью определения или областью существования функции f и обозначается D(f). Множество всех значений, принимаемых функцией f, когда аргумент x пробегает всю область определения X, называется множеством значений функции f и обозначается E(f):

E(f) = y Y y = f(x), x X .

Очевидно, что множество значений функции E(f) содержится в множестве Y . При этом Y может также содержать элементы, не входящие в E(f) (рис. 3.4).

Определение 3.16. Если X R и Y R, т.е. X и Y являются числовыми множествами, то функция f : X → Y называется числовой.

Множеством значений функции в данном случае является отрезок [0, 1], или Y = [0, 1].

Определение 3.17. Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянную функцию часто обозначают так же, как и то единственное значение, которое она принимает.

Определение 3.18. Графиком функции называется множество

Например, графиком функции y = x2 является парабола. Естественно, что графиком функции не обязательно является сплошная кривая. В частности, графиком функции y = n! будет бесконечное множество изолированных точек (нарисуйте!).

Р е ш е н и е. Очевидно, что f(2) = 1 + 2 + 22 = 7. Если вместо независимой переменной подставить выражение 1/x, то получим:

Аналогично f(−x) = 1 + (−x) + (−x)2 = 1 − x + x2.

Пример 3.15. Определить область существования функции

!

y = x2 − 3x + 2.

Р е ш е н и е. В этом случае подкоренное выражение должно быть неотрицательно: x2 − 3x + 2 0. Решив это неравенство, получим, что областью определения является множество D = (−∞, 1] [2, +∞).

Данная функция выражена с помощью нескольких формул. Областью ее определения является вся числовая прямая, множество значений состоит из трех элементов: −1, 0, 1. График изображен на рис. 3.6. Эту функцию обозначают y = sign x.

Неявный способ

Предположим, что значения двух переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением, например:

Тогда каждому значению переменной x можно поставить в соответствие множество решений Yx такого уравнения относительно переменной y. Полученное соответствие, вообще говоря, не является функцией.

Всамом деле, для каких-то значений x множество Yx может оказаться пустым, а для других x оно может содержать два элемента или более. Однако, накладывая определенные ограничения на выбор переменных x и y, часто удается добиться, чтобы для всех значений x из выбранного диапазона множество Yx содержало ровно один элемент.

Втаких случаях можно говорить о том, что определена функция y переменной x. Описанный способ задания функции называется неявным.

Пример 3.18. Уравнение y −x2 = 0 легко решается относительно переменной y. Для всякого x R существует единственное решение y = x2, которое является функцией, заданной аналитически.

Вообще, всякая аналитически заданная функция y = f(x) может быть представлена в виде уравнения y − f(x) = 0.