Е. А. Ровба - Высшая математика

Пример 3.51. Исследовать на непрерывность функцию

f(x) = e1/x.

Р е ш е н и е. По теореме 3.19 о непрерывности элементарных функций данная функция непрерывна на своей области определения, т.е. всюду на числовой оси, кроме точки x = 0. Исследуем функцию f(x) в этой точке:

Таким образом, x = 0 — точка разрыва второго рода.

3.4.5. Раскрытие неопределенностей

Теорема 3.19 утверждает, что всякая элементарная функция непрерывна во всех точках своей области определения. Следовательно, для отыскания предела элементарной функции в точке, принадлежащей ее области определения, достаточно найти значение этой функции в данной точке. Если же точка не принадлежит области определения, то формальное вычисление значения функции в ней может привести к выражениям вида:

называемым неопределенностями.

В случае, когда в некоторой точке имеет место неопределенность любого из перечисленных типов, мы не можем сказать ничего определенного о пределе функции в этой точке. Предел может существовать, а может и не существовать. В первом случае он может принимать любые значения, а во втором — функция может быть бесконечно большой, а может и не быть. Столкнувшись с неопределенностью, следует попытаться преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность исчезла, т.е. раскрыть неопределенность.

Р е ш е н и е. Подставляя в числитель и знаменатель дроби значение x = 2, обнаруживаем неопределенность вида 0/0. Значит, выражение под знаком предела следует преобразовать. Числитель содержит

Мы раскрыли неопределенность, так как пришли к пределу от элементарной функции в точке x = 2, принадлежащей области определения этой функции. Чтобы найти такой предел, достаточно вычислить значение функции при x = 2:

Р е ш е н и е. Числитель и знаменатель данной дроби при x → ∞ являются ББФ, и, таким образом, имеет место неопределенность вида ∞/∞. Преобразуем функцию, стоящую под знаком предела. Разделим числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, в данном случае на x2. Имеем:

184 Глава 3. Предел последовательности и функции

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, например, f(a) > 0. Тогда по определению непрерывности

lim f(x) = f(a).

x→a

Возьмем ε = f(a). По определению предела для выбранного ε

δ > 0 x, 0 < |x − a| < δ, |f(x) − f(a)| < ε = f(a).

Последнее неравенство можно переписать следующим образом:

−f(a) < f(x) − f(a) < f(a), 0 < f(x) < 2f(a).

Итак, для всех x (a − δ, a + δ) имеем неравенство f(x) > 0, доказывающее теорему.

Геометрический смысл теоремы об устойчивости знака состоит в том, что если функция f непрерывна в точке a и отлична в ней от нуля, то некоторая часть графика этой функции, проходящая через точку (a, f(a)), не пересекает ось Ox (рис. 3.55).

y

f(a)

Теорема 3.21 (Больцано — Коши, первая). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка c (a, b), в которой f(c) = 0.

Геометрический смысл первой теоремы Больцано — Коши также очевиден. Поскольку функция f непрерывна на отрезке, то ее график представляет собой сплошную линию. Эта кривая соединяет точки

(a, f(a)) и (b, f(b)), одна из которых лежит ниже оси Ox, вторая — выше оси Ox (рис. 3.56). Следовательно, на оси Ox существует точка c, в которой график пересекает эту ось.

Первую теорему Больцано — Коши легко обобщить.

Теорема 3.22 (Больцано — Коши, вторая). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) = f(b). Тогда если C — любое число, лежащее строго между f(a) и f(b), то существует точка c (a, b) такая, что f(c) = C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, например, f(a) < C < f(b). Рассмотрим функцию ϕ(x) = f(x) − C. Эта функция непрерывна на отрезке [a, b], ϕ(a) = f(a)−C < 0 и ϕ(b) = f(b)−C > 0. Следовательно, к функции ϕ можно применить первую теорему Больцано — Коши. В соответствии с ней существует точка c (a, b) такая, что ϕ(c) = 0, т.е. f(c) − C = 0, или f(c) = C.

Другими словами, теорема 3.22 утверждает, что непрерывная на отрезке [a, b] функция принимает любое свое промежуточное значение.

Геометрический смысл второй теоремы Больцано — Коши проиллюстрирован рис. 3.57.

Теорема 3.23 (Вейерштрасса, первая). Если функция f

непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Иначе говоря, если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то

M > 0 x [a, b] |f(x)| M.

Отметим, что если в первой теореме Вейерштрасса вместо отрезка [a, b] рассматривать интервал (a, b) или какой-либо полуинтервал, то функция f(x) может оказаться и неограниченной. Например, функция f(x) = 1/x непрерывна на полуинтервале (0, 1], но не ограничена на нем.

Теорема 3.24 (Вейерштрасса, вторая). Непрерывная на отрезке [a, b] функция f достигает в некоторых точках этого отрезка своих максимума и минимума.

Глава 4

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

4.1. Производная функции

4.1.1. Понятие производной

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна в окрестности точки x = a. Если независимой переменной x придать приращение x в этой точке, то функция получит соответствующее приращение

y = f(a + x) − f(a).

По определению непрерывной функции если x → 0, то и y → 0. Если же мы хотим получить представление о том, как быстро

изменяется значение функции при изменении независимой переменной в окрестности точки x = a, то должны сравнить каким-либо образом приращение аргумента x и приращение функции y. С целью более глубокого изучения функции, исследования скорости изменения ее значений вводится понятие производной — одно из важнейших понятий математики.

Определение 4.1. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна в окрестности точки x = a. Производной функции y = f(x) в точке x = a называется предел отношения приращения функции

188 Глава 4. Дифференциальное исчисление

в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

Операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Если функция y = f(x) имеет производную f (x) в каждой точке x X, то производную можно рассматривать как функцию переменной x на X.

Рассмотрим нахождение производной функции, пользуясь определением.

Пример 4.1. Найти производную функции f(x) = x2 + 2x + 2 в точке x = a, a R.

Таким образом, f (a) = 2(a + 1), a R.

Пример 4.2. Найти производную функции f(x) = |x − 1| в точке

x= 1.

Ре ш е н и е. Исходя из определения производной, рассмотрим

предел

f(x) = |x − 1| в точке x = 1 не существует.

Учитывая, что существуют вышеуказанные односторонние пределы, в этом случае говорят, что у рассматриваемой функции существуют односторонние производные в точке x = 1 (правая и левая соответственно).

Выясним связь между существованием производной в точке и непрерывностью функции.

Теорема 4.1. Если функция y = f(x) в точке x имеет производную f (x), то она непрерывна в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, обозначим

y = f(x + x) − f(x).

Будем иметь:

Это означает, что функция y = f(x) непрерывна в точке x.

Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не иметь в ней производной. Это видно на примере 4.2. Функция y = |x − 1| в точке x = 1 непрерывна, но не имеет в ней производной.