Е. А. Ровба - Высшая математика

Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается соответствующая теорема для случая x → −∞. При этом равенства (4.31) следует заменить на равенства

Пример 4.18. Найти наклонные асимптоты графика функции

!

y = x2 + 1.

Р е ш е н и е. Наклонную асимптоту при x → +∞ найдем, приме-

Значит, y = x — наклонная асимптота при x → +∞.

Для нахождения наклонной асимптоты при x → −∞ поступим

Значит, y = −x — наклонная асимптота при x → −∞.

Приведенный пример показывает, что наклонные асимптоты графика функции y = f(x) при x → +∞ и x → −∞ могут быть разными.

4.4.7.Общая схема исследования поведения функций и построения графиков функций

Для полного исследования поведения функций и построения их графиков можно рекомендовать следующую схему:

1)найти область определения функции;

2)найти точки разрыва функции, вертикальные асимптоты (если они существуют), точки пересечения с осями координат;

3)определить четность (нечетность) и периодичность функции;

4)найти промежутки монотонности функции и точки локального экстремума;

5)определить промежутки выпуклости функции и точки пе-

региба;

6)выяснить вопрос о существовании наклонных асимптот;

7)на основании полученных данных построить график функции (иногда полученные данные сводят в таблицу).

Рассмотрим пример, иллюстрирующий приведенную схему.

Пример 4.19. Построить график функции y = e−x2 .

Р е ш е н и е. 1. Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

2. Функция непрерывна на R. Вертикальных асимптот не имеет. График функции не пересекает ось Ox, так как f(x) > 0, x R.

Если x = 0, то y = 1, и график функции пересекает ось Oy в точке (0, 1).

Стационарной точкой является только точка x = 0. Из теоремы 4.15 следует, что точка x = 0 является точкой локального максимума, y(0) = 1.

Глава 5

Теория интегрирования

5.1. Неопределенный интеграл

5.1.1. Первообразная

Как было сказано в предыдущей главе, для приложений производная имеет важное значение с точки зрения поиска скорости протекания процесса. Естественным образом возникает следующая задача: как, зная скорость изменения некоторого процесса, описать сам процесс? Иными словами, как, зная производную некоторой функции, восстановить саму функцию?

Определение 5.1. Функция F , определенная на интервале (a, b), называется первообразной для функции f на этом же интервале, если для всех x (a, b) F (x) = f(x).

Пример 5.1. Найти первообразную для функции f(x) = 2x.

Р е ш е н и е. Используя таблицу производных, легко подобрать функцию F (x) таким образом, что F (x) = 2x. Например, F (x) = x2. Однако, используя то, что производная константы равна нулю, в качестве первообразной для функции f(x) = 2x можно взять и

F1(x) = x2 + 1, и F2(x) = x2 − 2.

Учитывая пример, можно заключить, что задача об отыскании первообразной по данной функции f решается неоднозначно. Если, например, F есть первообразная для функции f, то функция F (x) + C также является первообразной для функции f. Действительно,

(F (x) + C) = F (x) + (C) = f(x) + 0 = f(x).

В частности, функция x2 + C, где C — произвольная постоянная, есть первообразная для функции 2x на R.

Теорема 5.1. Если функция F (x) является первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), то множество всех первообразных для этой функции задается формулой

F (x) + C,

где C — произвольная постоянная.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала покажем, что функция F (x) + C является первообразной для функции f(x), т.е.

(F (x) + C) = f(x).

Этот факт следует непосредственно из того, что F (x) — первообразная функции f(x), т.е. F (x) = f(x), и из правил дифференцирования:

(F (x) + C) = F (x) + (C) = f(x) + 0 = f(x).

Теперь покажем, что никакая другая функция, кроме указанных, не может являться первообразной для функции f(x). Действительно, пусть некоторая функция Φ(x) является первообразной для функции f(x), т.е. Φ (x) = f(x). Тогда

(Φ(x) − F (x)) = Φ (x) − F (x) = f(x) − f(x) = 0.

Окончательно, применив условие постоянства функции, полу-

чим:

Φ(x) − F (x) = C Φ(x) = F (x) + C.

Таким образом, если известна хотя бы одна первообразная для данной функции f, то известно и все множество первообразных для этой функции.

5.1.2. Неопределенный интеграл и его свойства

Определение 5.2. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции. Обо-

f(x) dx.

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x) dx — подынтегральным выражением, x — переменной интегрирования.

Используя теорему 5.1, заключаем, что

*

f(x) dx = F (x) + C,

где F (x) — одна из первообразных функции f(x).

Замечание 5.1. Всякая непрерывная функция на множестве X имеет на этом множестве первообразную, а значит, и неопределенный интеграл.

Определение 5.3. График каждой первообразной называется

интегральной кривой.

Отметим, что интегральная кривая F (x) + C получается из интегральной кривой F (x) параллельным переносом вдоль оси Oy на C единиц (рис. 5.1).

y

y = F (x) + C

y = F (x)

Рис. 5.1

Геометрический смысл неопределенного интеграла состоит в том, что неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, получаемых друг из друга параллельным переносом вдоль оси Oy.

Замечание 5.2. В дальнейшем для простоты под словами «производная (дифференциал) от неопределенного интеграла» будем понимать производную (дифференциал) от каждой первообразной, входящей в множество функций, определяемое соответствующим неопределенным интегралом.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

*

f(x) dx = f(x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу определения неопределенного интеграла и производной суммы имеем:

*

f(x) dx = (F (x) + C) = F (x) + C = f(x).

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

*

df(x) dx = f(x) dx.

До к а з а т е л ь с т в о. Используя то, что дифференциал функции y = f(x) находится по формуле dy = f (x) dx, получаем:

*

d f(x) dx = d(F (x) + C) = dF (x) + d(C) = F (x)dx = f(x) dx.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

*

dF (x) = F (x) + C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии со свойствами дифференциала и определением первообразной будем иметь:

* * *

dF (x) = F (x) dx = f(x) dx = F (x) + C.

Из этого свойства, в частности, следует:

*

dx = x + C.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если k = const = 0, то

**

kf(x) dx = k f(x) dx.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F есть первообразная для функции f, т.е. F (x) = f(x). Поскольку

(kF (x)) = kF (x) = kf(x),

то функция kF будет первообразной для функции kf. Значит,

* *

kf(x) dx = kF (x) + C = k(F (x) + C1) = k f(x) dx

(здесь C1 = k1 C — некоторая постоянная).

5. Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F и G — первообразные для функций f и g, т.е.

F (x) = f(x), G (x) = g(x).

Поскольку

(F (x) + G(x)) = F (x) + G (x) = f(x) + g(x),

то функция F + G является первообразной для функции f + g. Следовательно,

**

f(x) dx + g(x) dx = F (x) + C1 + G(x) + C2 =

238 Глава 5. Теория интегрирования

5.1.3. Таблица интегралов

Приведем таблицу основных интегралов, часть формул которой является непосредственным следствием из определения неопределенных интегралов и таблицы производных. Другую часть формул проверим ниже.

приведем также некоторые наиболее часто встречающиеся частные случаи этой формулы при a = 0, a = 1, a = −1/2 и a = −2 соответственно: