16.1. Введение в расчет CRC

Метод CRC основан на четко сформулированных свойствах полиномиальной арифметики. Чтобы вычислить контрольную сумму потока битов, сообщение рассматривается как полином3, который делится на другой фиксированный полином, называемый генераторным полином (generator polynomial). Остатком данной операции является контрольная сумма, которая добавляется к исходному сообщению. Получатель будет использовать ее вместе с генераторным полиномом для проверки правильности сообщения.

На практике все методы CRC используют полиномы в GF(2n). GF(pn) обозначает поле Галуа (Galois field), также известное как конечное поле (finite field), то есть поле с конечным числом элементов. Как и любое поле, поле Галуа – это множество (set), в котором определены операции умножения, сложения, вычитания и деления, удовлетворяющие некоторым основным правилам (basic rules). Наиболее распространенными примерами конечных полей являются целые числа по модулю p, где p – простое число. В нашем случае p равно 2, и это означает, что поле GF(2n) содержит только два элемента при n = 1: 0 и 1.

В GF(2n) сложение и вычитание выполняются по модулю 2, то есть они соответствуют логической операции исключающего ИЛИ (XOR).

0 1

0 0 1

1 1 0

Умножение соответствует логической операции И (AND).

0 1

0 0 0

1 0 1

Полиномы в GF(2n) – это полиномы от одной переменной x, коэффициенты которых равны 0 или 1. Метод CRC интерпретирует биты сообщения с данными как коэффициенты многочлена в GF(2n) со степенью, равной n − 1, где n – длина сообщения. Например, приняв за сообщение 111001102, длина которого равна 8, оно соответствует полиному:

Как было сказано ранее, в GF(2n) сложение и вычитание соответствуют логической опе-

равна x4 + x 4. Очевидно, что это также то же самое, что и вычитание двух полиномов.

Умножение полиномов в GF(2n), как правило, очень похоже на умножение десятичных целых чисел, в котором вместо десятичных разрядов отслеживаются степени х. Например, умножив два предыдущих полинома, мы получим:

3В русском языке уместнее использовать термин многочлен вместо полинома. Некоторые утверждают, что полином – это отношение двух многочленов. Однако, ознакомившись со словарями и учебниками, переводчик принял решение, что эти термины эквивалентны, поэтому далее будет использоваться термин

полином. (прим. переводчика)

4Вместо этого в обычной алгебре результатом сложения будет x 4 + 2x 3 + x + 2 .

Рисунок 1: Как контрольная сумма CRC вычисляется в STM32

Предположим, что значение данных равно 101001012 (0xAD), а полином CRC равен 000101102 (0x16), тогда алгоритм, реализованный микроконтроллерами STM32, будет работать следующим образом (рисунок 1 иллюстрирует этот процесс):

1.Исходное содержимое регистра CRC вычисляется с помощью операции исключающего ИЛИ между 0xFF и 0xAD.

2.Поскольку MSB-бит равен 0, регистр CRC просто сдвигается влево.

3.Теперь MSB-бит регистра CRC равен 1. Сначала мы сдвигаем регистр влево, а затем выполняем операцию исключающего ИЛИ с полиномом CRC (0x16).

4.При ставшем равным 0 MSB-бите регистр CRC просто сдвигается влево.

5.Теперь MSB-бит регистра CRC равен 1. Сначала мы сдвигаем регистр влево, а затем выполняем операцию исключающего ИЛИ с полиномом CRC (0x16).

6.При ставшем равным 0 MSB-бите регистр CRC просто сдвигается влево.

7.Теперь MSB-бит регистра CRC равен 1. Сначала мы сдвигаем регистр влево, а затем выполняем операцию исключающего ИЛИ с полиномом CRC (0x16).

8.Теперь MSB-бит регистра CRC равен 1. Сначала мы сдвигаем регистр влево, а затем выполняем операцию исключающего ИЛИ с полиномом CRC (0x16).

9.Наконец, MSB-бит снова равен 0. Мы выполняем сдвиг влево регистра CRC. Конечное значение представляет собой контрольную сумму, которая добавляется к концу сообщения.

Вышеприведенный алгоритм является просто упрощением фактического алгоритма, реализованного в микроконтроллерах STM32. На самом деле он отличается по двум основным причинам:

•Полином CRC является фиксированным и соответствует CRC-32 (0x04C1 1DB7).

•Один регистр входных/выходных данных размером 32 бита, а контрольная сумма CRC вычисляется для всего 32-битного регистра, а не для каждого байта7.

Это резко ограничивает эффективность использования данного периферийного устройства.

16.1.2.Периферийное устройство CRC в микроконтроллерах

STM32F0/F3/F7/L0/L4

Впредыдущем параграфе мы видели, что периферийное устройство STM32, предоставляемое некоторыми микроконтроллерами STM32, ограничено вычислением CRC с использованием полинома CRC-32 Ethernet. Более того, размер обрабатываемых данных для каждого вычисления составляет 32 бита.

Вболее поздних сериях STM32 это ограничение было заменено. Фактически, микроконтроллеры STM32F0/F3/F7/L0/L4 предоставляют более совершенное периферийное устройство CRC, как показано в таблице 1.

Таблица 1: Реализация периферийного устройства CRC в микроконтроллерах STM32

В этих микроконтроллерах периферийное устройство CRC по умолчанию совместимо с более простым периферийным устройством CRC, предоставляемым микроконтроллерами STM32F1/F2/F4/L1. Это означает, что без явно заданной конфигурации код,

7 Это важное отличие по сравнению с алгоритмами, реализованными в нескольких библиотеках и онлайнкалькуляторах, которые обычно выполняют вычисления CRC, разбивая слово на составляющие его байты.

См. этот пост (https://community.st.com/s/question/0D50X00009XkbNMSAZ/crc-computation) и этот другой пост (https://community.st.com/s/question/0D50X00009XkgXtSAJ/programmable-crc-peripheral-in-newer-stm32- devices) пользователя clive1 на официальном форуме ST (самый активный и опытный пользователь на форуме STM32, посвященном данной тематике).