Основні характеристики нечітких відношень

Нехай – довільне нечітке k-арне відношення з кортежами з декартовим твором відповідних універсумів і функцією приналежності .

Визначення 5.7. Носієм нечіткого відношення називається звичайне відношення _s, яке формально визначається таким чином:

Визначення 5.8. Узагальненням носія нечіткого відношення є поняття відношення -рівня, під яким розуміється звичайне відношення, яке формально визначається таким чином:

де – деяке дійсне число з інтервалу [0, 1].

Визначення 5.9. Величина , де супремум береться по всіх значеннях функції приналежності для кортежів , називається висотою нечіткого відношення .

Визначення 5.10. Нечітке відношення називається нормальним, якщо максимальне значення його функції приналежності дорівнює 1. Формально це означає, що для нормального нечіткого відношення необхідне виконання наступної умови:

Визначення 5.11. Якщо висота нечіткого відношення дорівнює одиниці ( = 1), але умова (5.5) не виконується, то таке нечітке відношення називатимемо субнормальним.

Довільне непорожнє нечітке відношення можна зробити субнормальним, використовуючи наступне перетворення:

Визначення 5.12. Деякий кортеж нечіткого відношення називається модою, якщо цей кортеж є точкою локального максимуму відповідної функції приналежності, тобто виконується умова:

де максимум розглядається в деякій локальній околиці кортежу w_m з області визначення функції приналежності.

Якщо довільне нечітке відношення має моду, що співпадає з його висотою, то перетворення (5.6) дає в результаті нормальне нечітке відношення.

Визначення 5.13. Ядром нечіткого відношення називається звичайне відношення, яке визначається таким чином:

Визначення 5.14. Часто виявляється корисним поняття чіткого відношення Q, найближчого до нечіткого відношення . Характеристична функція такого відношення може бути визначена наступним виразом:

Межі, точки переходу, а також властивість опуклості нечіткого відношення визначаються аналогічно нечітким множинам.

Перш ніж приступити до визначення операцій, розглянемо два прості відношення між двома нечіткими відношеннями. Перше з них – рівність двох нечітких відношень.

Визначення 5.15. Два нечіткі відношення і вважаються рівними, якщо вони задані на одних і тих же універсамах , мають однакову арность і їх функції приналежності приймають рівні значення на всьому декартовому творі відповідних універсумів, тобто виконується наступна умова:

для будь-яких кортежів .

При цьому слід зазначити, що стосовно бінарних нечітких відношень матриці рівних відношень і відповідні їм нечіткі графи рівні, як це визначено для відповідних математичних об'єктів.

Визначення 5.16. Говорять, що нечітке відношення строго включає (строго домінує) нечітке відношення (записується ⊂ ), якщо значення функції приналежності першого строго більше відповідних значень функції приналежності другого, тобто виконується наступна формальна умова:

для будь-яких кортежів .

Тут по аналогії із звичайними множинами для позначення строгого домінування нечітких відношень використовується символ "⊂". Якщо в даному визначенні в умові (5.11) замість знаку строгої нерівності записати знак нестрогої нерівності "≥", то отримаємо визначення нестрогого включення нечітких відношень або нестрогого домінування, яке позначається як: ⊆ . При цьому в разі ⊆ просто кажуть, що нечітке відношення домінує нечітке відношення , а нечітке відношення міститься в нечіткому відношенні .

Якщо для двох нечітких відношень і , заданих на одних і тих же базисних множинах, не виконується ні відношення ⊆ , ні відношення ⊆ , то в тому разі говорять, що нечіткі відношеньи і незрівняні.