Деякі спеціальні типи нечітких бінарних відношень, заданих на одній базисній множині

Як і у разі звичайних відношень, сумісна наявність декількох властивостей може характеризувати загальний тип того або іншого бінарного нечіткого відношення.

Визначення 5.33. Бінарне нечітке відношення , що задане на декартовому творі , називається нечітким відношенням часткового строгого порядку, якщо воно одночасно є антирефлексивним, асиметричним і транзитивним.

Визначення 5.34. Нечітке відношення часткового строгого порядку, яке додатково задовольняє умові слабкої повноти, називається нечітким відношенням лінійного строгого порядку.

Наприклад, нечітке відношення ₂ з прикладу 5.2 є відношенням лінійного строгого порядку, оскільки, як було відмічено вищим, воно задовольняє умовам антирефлексивності, асиметричності, транзитивності і слабкої повноти. Що стосується нечіткого відношення ₁ з прикладу 5.1, то воно не є нечітким відношенням строгого порядку.

Визначення 5.35. Бінарне нечітке відношення , що задане на декартовому творі , називається відношенням толерантності, якщо воно є рефлексивним і симетричним. Нечітке відношення толерантності також називають відношенням нечіткої схожості, оскільки воно використовується для змістовного представлення попарної подібності або схожості різних об'єктів між собою.

Визначення 5.36. Бінарне нечітке відношення , що задане на декартовому творі , називається нечітким відношенням еквівалентності, якщо воно одночасно є рефлексивним, симетричним і транзитивним.

Контрольні питання

6. Нечітке відношення та способи його завдання.

7. Основні характеристики нечітких відношень.

8. Операції над нечіткими відношеннями.

9. Відображення нечітких множин

10. Композиція бінарних нечітких відношень.

Тема 4. Нечіткі величини, числа і інтервали

Розглянуте раніше поняття нечіткої множини допускає різні уточнення, які доцільно використовувати для адекватнішого віддзеркалення семантики невизначеності при побудові нечітких моделей складних систем. Одним з таких уточнень є поняття лінгвістичної змінної, яке широко використовується в нечіткому управлінні для представлення вхідних і вихідних змінних керованої системи. У цьому розділі також будуть розглянуті нечіткі аналоги звичайних чисел і інтервалів, які виявляються вельми зручним засобом для чисельних розрахунків значень відповідних функції приналежності при виконанні арифметичних операцій.

Визначення нечіткої і лінгвістичної змінних

Визначення 6.1. Нечітка змінна визначається як кортеж: <а, X, A>, де а – найменування або назва нечіткої змінної; X– область її визначення (універсум); – нечітка множина на X, що описує можливі значення, які може приймати нечітка змінна а. Таким чином, кажучи про нечітку змінну а, ми завжди матимемо на увазі деяку нечітку множину , яка визначає її можливі значення.

Як приклад нечіткої змінної можна привести нечітку множину , яка характеризує "гарячу каву". В цьому випадку відповідна нечітка змінна може бути представлена таким чином: <Гаряча кава {x| 0°С < x < 100°С, } >, де – нечітка множина з функцією приналежності , яка може бути задана, зокрема, графічно (рис. 1.4, а або рис. 1.4, б).

Узагальненням нечіткої змінної є так звана лінгвістична змінна.

Визначення 6.2. Лінгвістична змінна також визначається як кортеж: <β, Т, X, G, М>, де:

β – найменування або назва лінгвістичної змінної;

Т – базова терм-множина лінгвістичної змінної або множина її значень (термів), кожне з яких є найменуванням окремої нечіткої змінної β;

X – область визначення (універсум) нечітких змінних, які входять у визначення лінгвістичної змінної β;

G – деяка синтаксична процедура, яка описує процес утворення або генерування з множини Т нових, осмислених в даному контексті значень для даної лінгвістичної змінної;

М – семантична процедура, яка дозволяє поставити у відповідність кожному новому значенню даної лінгвістичної змінної, що може бути отримана за допомогою процедури G, деякий осмислений зміст за допомогою формування відповідного нечіткої множини.

Приклад 6.1. В якості прикладу розглянемо ситуацію із швидкістю руху автомобільного транспорту в межах міської межі. Хоча правила дорожнього руху регламентують величину цієї швидкості, проте багато автоаматорів вважають за краще давати власну суб'єктивну оцінку своєї швидкості руху. При цьому використовуються такі визначення, як "мала швидкість", "середня швидкість" і "висока швидкість" руху. Очевидно, що подібна практична оцінка швидкості може відноситися до діапазону швидкостей в межах інтервалу від 0 км/г до деякої величини, визначуваної особистими перевагами того або іншого водія. Хай в нашому прикладі з міркувань зручності це буде величина 100 км/г.

Формалізація суб'єктивної оцінки швидкості руху може бути виконана за допомогою наступної лінгвістичної змінної <β₁, Т, X, G, М >, де

β₁ – швидкість руху автомобіля;

Т = {"мала швидкість", "середня швидкість", "висока швидкість"};

Х = [0,100];

G – процедура утворення нових термів за допомогою логічних зв'язок "І", "АБО" і модифікаторів типу "дуже", "НЕ", "злегка" і ін. Наприклад: "мала або середня швидкість", "дуже висока швидкість" і ін.;

M – процедура завдання на X = [0,100] нечітких змінних α₁ = "мала швидкість", α₂ ="середня швидкість",α₃ = "висока швидкість", а також відповідних нечітких множин для термів з G(T) відповідно до правил трансляції нечітких зв'язок і модифікаторів "І", "АБО", "НЕ", "дуже", "злегка".

Конкретні процедури G і М будуть розглянуті нами далі. Стосовно даного конкретного прикладу можна обмежитися припущенням про їх тривіальний характер, тобто ніяких логічних зв'язок і модифікаторів ми не будемо використовувати.

Для цього прикладу нечіткі множини A1, A2, A3, відповідні нечітким змінним: α₁ = "мала швидкість", α₂ = "середня швидкість", α₃ = "висока швидкість", зручно представити графічно за допомогою кусочно-лінійних функцій приналежності. Один з можливих конкретних варіантів цих нечітких множин зображений на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Графіки функцій приналежності нечітких множин A1, A2, A3, що відповідають нечітким змінним α₁ = "мала швидкість" (а), α₂ = "середня швидкість" (б), α₃ = "висока швидкість" (в) для лінгвістичної змінної β₁ (швидкість руху автомобіля)

Іноді для наочності, графіки функцій приналежності декількох нечітких змінних, що використовуються для завдання однієї лінгвістичної змінної, зображають на одному рисунку. Стосовно прикладу 6.1 всі три графіки представлено на рис. 6.2, що дозволяє порівнювати значення функцій приналежності відповідних нечітких змінних для різних значень універсуму.

Рис. 6.2. Графіки функцій приналежності нечітких множин A1, A2, A3, що зображені на одному малюнку

Разом з розглянутими вище базовими значеннями лінгвістичної змінної "швидкість руху автомобіля" (Т={"мала швидкість", "середня швидкість", "висока швидкість"}) можливі і інші значення цієї ж лінгвістичної змінної, що залежать від конкретної величини швидкості руху. Наприклад, можуть бути визначені такі додаткові значення лінгвістичної змінної "швидкість руху автомобіля", як "близько 30 км/г", "близько 50 км/г", "близько 70 км/г". Як буде видно з подальшого викладу матеріалу, ці значення лінгвістичної змінної зручно моделювати за допомогою нечітких чисел.