Операції над нечіткими відношеннями

Оскільки кожне нечітке відношення являє собою нечітку множину, то стосовно нечітких відношень виявляються справедливими всі операції, які були визначені в минулому розділі. В той же час при використанні нечітких відношень має місце цілий ряд додаткових особливостей, які слід враховувати при оперуванні відповідними поняттями.

Нехай і – довільні (скінченні або нескінченні) k-арні нечіткі відношення, задані на одному і тому ж декартовому творі універсумів: .

Визначення 5.17. Перетином двох нечітких відношень і називається деяке третє нечітке відношення , задане на цьому ж декартовому творі універсумів, функція приналежності якого визначається наступним чином:

Визначення 5.18. Об'єднанням двох нечітких відношень і називається деяке третє нечітке відношення , задане на цьому ж декартовому творі універсамів , функція приналежності якого визначається за наступною формулою:

Визначення 5.19. Різницею двох нечітких відношень і називається таке нечітке відношення , задане на цьому ж декартовому творі універсумів функція приналежності якого визначається за наступною формулою:

Визначення 5.20. Операція симетричної різниці двох нечітких відношень і (тут ми позначатимемо її через ) за визначенням є таке нечітке відношення _{, функція приналежності якого дорівнює:}

Визначення 5.21. Унарна операція доповнення нечіткого відношення позначається через і визначається аналогічно операції доповнення нечіткої множини. А саме, , де функція приналежності визначається за наступною формулою:

Композиція бінарних нечітких відношень

Нехай і – скінченні або нескінченні бінарні нечіткі відношення. Причому нечітке відношення задане на декартовому творі універсамів , а нечітке відношення – на декартовому творі універсумів .

Визначення 5.22. Нечітке бінарне відношення, що задане на декартовому творі і позначається через , називається композицією бінарних нечітких відношень і , а його функція приналежності визначається наступним виразом:

Визначену таким чином композицію бінарних нечітких відношень називають іноді (max-min)-композицией або максимінною згорткою нечітких відношень.

Приклад 5.6. Розглянемо типову ситуацію, пов'язану з консалтингом в галузі вибору професії для подальшого навчання і отримання відповідної спеціальності. З цією метою побудуємо нечітку модель, засновану на двох бінарних нечітких відношеннях і . Перше з цих нечітких відношень будується на двох базисних множинах Х і Y, а друге – на двох базисних множинах Y і Z. Тут X описує множину спеціальностей, по яких проводиться набір на навчання, Y – множину психо-фізіологічних характеристик, а Z – множину кандидатів на навчання. У тому контексті, що нас цікавить, нечітке відношення змістовно описує психо-фізіологічну профілізацію спеціальностей, а – психо-фізіологічну профілізацію кандидатів на навчання.

Для конкретності, нехай Х={х1,х2, х3, х4, х5}, Y={y1,y2, y3,y4, y5,y6, y7,y8, y9,y10} і Z={z1,z2_, z3,z4_, z5} Елементи універсумів мають наступний змістовний сенс:

х1 – "менеджер", х2 – "програміст", x3 – "водій", x4 – "секретар-референт", x5 – "перекладач";

у1 – "швидкість і гнучкість мислення", у2 – "уміння швидко ухвалювати рішення", у3 – "стійкість і концентрація уваги", у4 – "зорова пам'ять", у5 – "швидкість реакції", у6 – "рухова пам'ять", у7 – "фізична витривалість", у8– "координація рухів", у9– "емоційно-вольова стійкість", у10 – "відповідальність";

z1– "Петров", z2 – "Іванов", z3 – "Сидоров", z4 – "Васильєва", z5 – "Григорьєва". Конкретні значення функцій приналежності і даних нечітких відношень представлені наступними таблицями (табл. 5.4 і 5.5).

Таблиця 5.4. Нечітке відношення профілізації спеціальностей навчання

	Швидкість і гнучкість мислення	Уміння швидко ухвалювати рішення	Стійкість і концентрація уваги	Зорова пам'ять	Швидкість реакції
Менеджер	0.9	0.9	0.8	0.4	0.5
Програміст	0.8	0.5	0.9	0.3	0.1
Водій	0.3	0.9	0.6	0.5	0.9
Секретар	0.5	0.4	0.5	0.5	0.2
Перекладач	0.7	0.8	0.8	0.2	0.6
	Рухова пам'ять	Фізична витривалість	Координація рухів	Емоційно-вольова стійкість	Відповідальність
Менеджер	0.3	0.6	0.2	0.9	0.8
Програміст	0.2	0.2	0.2	0.5	0.5
Водій	0.8	0.9	0.8	0.6	0.3
Секретар	0.2	0.3	0.3	0.9	0.8
Перекладач	0.2	0.2	0.3	0.3	0.2

Таблиця 5.5. Нечітке відношення профілізації кандидатів на навчання

	Петров	Іванов	Сидоров	Васильєва	Григорьєва
Швидкість і гнучкість мислення	0.9	0.8	0.7	0.9	1
Уміння швидко ухвалювати рішення	0.6	0.4	0.8	0.5	0.6
Стійкість і концентрація уваги	0.5	0.2	0.3	0.8	0.7
Зорова пам'ять	0.5	0.9	0.5	0.8	0.4
Швидкість реакції	1	0.6	0.5	0.7	0.4
Рухова пам'ять	0.4	0.5	1	0.7	0.8
Фізична витривалість	0.5	0.8	0.9	0.5	0.4
Координація рухів	0.5	0.6	0.7	0.6	0.5
Емоційно-вольова стійкість	0.8	1	0.2	0.5	0.6
Відповідальність	0.3	0.5	0.9	0.6	0.8

Матриці цих нечітких відношень мають наступний вигляд:

Оскільки дані нечіткі відношення задовольняють формальним вимогам, необхідним для виконання їх нечіткої композиції згідно (5.17), результат операції нечіткої композиції цих відношень може бути представлений у вигляді матриці результуючого нечіткого відношення:

Для наочності перетворимо цю матрицю до табличної форми (табл. 5.6).

Таблиця 5.6. Нечітка композиція двох початкових відношень

	Петров	Іванов	Сидоров	Васильєва	Григорьєва
Менеджер	0.9	0.9	0.8	0.9	0.9
Програміст	0.8	0.8	0.7	0.8	0.8
Водій	0.9	0.8	0.9	0.7	0.8
Секретар	0.8	0.9	0.8	0.6	0.8
Перекладач	0.7	0.7	0.8	0.8	0.7

Розглянемо, яким чином виходить одне із значень функції приналежності композиції, наприклад, значення = 0.9. Спочатку знайдемо мінімальні значення функції приналежності всіх пар елементів першого рядка табл. 5.4 і першого стовпця табл. 5.5. А саме: min{0.9, 0.9}= 0.9, min{0.9, 0.8}= 0.8, min{0.8, 0.5}= 0.5, min{0.4, 0.5}= 0.4, min{0.5, 1}= 0.5, min{0.3, 0.4}= 0.3, min{0.6, 0.5}= 0.5, min{0.2, 0.5}= 0.2, min{0.9, 0.8}= 0.8, min{0.8, 0.3}= 0.3. Після цього знайдемо максимальне з 10 набутих значень, яке і буде шуканим значенням функції приналежності: = mах{0.9, 0.8, 0.5, 0.4, 0.5, 0.3, 0.5, 0.2, 0.8, 0.3}= 0.9. Решта значень функції приналежності знаходиться аналогічно.

Операцію композиції нечітких відношень можна розповсюдити на матриці відповідних нечітких відношень. В цьому випадку результатом композиції матриці M₁ розмірності (n m) і матриці M₂ розмірності (m k) буде матриця M₃ розмірності (n ), елементи якої можна отримати по формулі (5.17). Тим самим виявляється коректним наступне позначення: М₃ = M₁ M₂, яке буде нами використовуватися і надалі.

Визначення 5.23. Нечітке бінарне відношення, що задане на декартовому творі і позначається через * , називається (max-*)-композицією бінарних нечітких відношень і , якщо його функція приналежності визначається наступним виразом:

Зокрема, якщо у виразі (5.18) замість операції "*" використовувати операцію алгебраїчного множення, то отримаємо визначення (max-prod) -композиції.

Проілюструємо результат (max-prod) -композиції нечітких відношень з прикладу 5.6. Ці нечіткі відношення задовольняють формальним вимогам, необхідним для виконання їх нечіткою (mах-prod)-композиції згідно (5.18). Результат операції нечіткої композиції може бути представлений у вигляді наступної таблиці (табл. 5.7).

Таблиця 5.7. Нечітка (mах-ргоd) -композиция двох початкових відношень

	Петров	Іванов	Сидоров	Васильєва	Грігорьєва
Менеджер	0.81	0.90	0.72	0.81	0.90
Програміст	0.72	0.64	0.56	0.72	0.80
Водій	0.90	0.72	0.81	0.63	0.64
Секретар	0.72	0.90	0.72	0.48	0.64
Перекладач	0.63	0.56	0.64	0.64	0.70