Нечітке відображення

Даючи визначення нечіткого відображення, слід мати на увазі, що, з одного боку, воно є узагальненням звичайного теоретико-множинного відображення, а з іншого боку, окремим випадком бінарного нечіткого відношення.

Визначення 5.24. Бінарне нечітке відношення задане на декартовому творі , називається нечітким відображенням, якщо для будь-якого існує не більше одного елементу з відмінним від нуля значенням функції приналежності .

Іншими словами, кожному з елементів , універсуму нечітке відображення F ставить у відповідність не більш одного елементу з універсаму , такого що . В цьому випадку говорять, що відображення F діє з універсуму в універсум .

Для формального запису нечіткого відображення використовується позначення, аналогічне позначенню звичайного відображення: , при цьому не виключається випадок, коли .

Визначення 5.25. Якщо як універсуми і розглядати числові множини, то відповідне нечітке відображення природно назвати нечіткою функцією. В цьому випадку можна використовувати загальноприйнятий спосіб позначення функціональної залежності малими латинськими буквами у формі .

Поняття нечіткого відображення допускає узагальнення на декартовий твір довільного кінцевого числа універсумів зліва від стрілки. Тому в загальному випадку нечітке відображення може бути записане у вигляді і ставить у відповідність кожному кортежу не більше одного елементу х з універсуму X, для якого виконується умова:

Визначення 5.25. Аналогічним чином можна ввести поняття нечіткої операції алгебри, яка є окремим випадком нечіткого відображення, коли всі універсуми тотожно рівні X. В цьому випадку нечітка операція, точніше, нечітка к-місна операція, може бути записана у формі .

Принцип узагальнення в теорії нечітких множин

Нехай задано звичайне відображення , де звичайні скінченні або нескінченні множини. Припустимо, що на основі кожної з множин , що використовуються як універсуми, задані деякі нечіткі множини , , …, .

Принцип узагальнення стверджує, що відображення f і сукупність нечітких множин , , …, однозначним чином породжують нечітке відображення , функція приналежності якого визначається за наступною формулою:

для всіх кортежів таких що .

Дійсно, згідно визначенню звичайного відображення f кожному кортежу відповідає єдиний елемент , який стає (k+1)-м елементом кортежу , що використовується для визначення нечіткого відношення F. При цьому для решти всіх інших елементів, таких що , очевидно . Остання умова є достатньою для того, щоб нечітке відношення F задовольняло визначенню нечіткого відображення (5.19).

Принцип узагальнення може бути використаний не тільки для завдання нечітких відображень, а й, що важливіше, – для формального визначення різних нечітких конструкцій, узагальнюючих відомі теоретико-множинні поняття. Так, наприклад, на його основі можна дати визначення нечіткого декартова твору нечітких множин , , …, . А саме, нечітким декартовим твором нечітких множин , , …, заданих на універсамах відповідно, називається таке нечітке відношення, яке позначається через … , а функція приналежності якого визначається за формулою:

Принцип узагальнення буде також використаний для визначення операцій з нечіткими числами і інтервалами.