Операції над нечіткими числами інтервалами

Для нечітких чисел і інтервалів у загальному випадку з використанням принципу узагальнення (4.23) можуть бути визначені аналоги звичайних арифметичних операцій. В цьому випадку розширені бінарні арифметичні операції (складання, віднімання, множення і ділення) для нечітких чисел і інтервалів визначаються через відповідні операції для звичайних дійсних чисел.

Нехай і – довільні нечіткі числа (нечіткі інтервали).

Визначення 6.8. Операція складання нечітких чисел (інтервалів) позначається через , де функція приналежності результату визначається за формулою:

Визначення 6.9. Операція віднімання нечітких чисел (інтервалів) позначається через , де функція приналежності результату визначається за формулою:

Визначення 6.10. Операція множення нечітких чисел (інтервалів) позначається через , де функція приналежності результату визначається за формулою:

Визначення 6.11. Операція ділення нечітких чисел (інтервалів) позначається через , де функція приналежності результату визначається за формулою:

У виразах (6.1)–(6.4) праворуч від знаку рівності супремум береться по кожному з сукупності значень елементів універсуму, які у свою чергу є результатом відповідної звичайної арифметичної операції над чисельними значеннями елементів універсуму початкових нечітких чисел (інтервалів).

Наприклад, хай задано нечітке число – "нечітка одиниця", яке описується наступною скінченною нечіткою множиною: ={<0, 0.2>, <1, 1.0>, <2,0.2>}.

Розглянемо виконання нечіткої операції складання – "нечітка одиниця" плюс "нечітка одиниця" з використанням формули (6.1).

Послідовно отримаємо: + ={<0, 0.2>, <l, 1.0>, <2, 0.2>}+{<0, 0.2>, <l, 1.0>, <2, 0.2>}={<0, min{0.2, 0.2}>, <l, max{min{0.2, 1.0}, min{1.0, 0.2}>, <2, max{min{0.2, 0.2}, min{1.0, 1.0}, min{0.2, 0.2}>, <3, max{min{1.0, 0.2}, min{0.2, 1.0}>, <4, min{0.2, 0.2}>}={<0, 0.2>, <1, 0.2>, <2, 1.0>, <3, 0.2>, <4, 0.2>}.

Можливо, операція складання нечітких чисел стане зрозумілішою, якщо взяти до уваги, що значення результату виходять як різні комбінації доданків звичайної арифметичної операції складання: 0=0+0, 1=0+1=1+0, 2=0+2=1+1=2+0, 3=1+2=2+1, 4=2+2. Очевидно, що для скінченних множин замість операції супремум можна використовувати операцію максимум. Отримане в результаті нечітке число можна назвати "нечітка двійка".

Аналогічним чином можна отримати інше нечітке число – "нечіткий нуль", як результат виконання операції віднімання з використанням формули (6.2). В цьому випадку отримаємо: "нечіткий нуль", який дорівнює "нечітка одиниця" мінус "нечітка одиниця" або - ={<0, 0.2>, <1, 1.0>, <2, 0.2>} – {<0, 0.2>, <1, 1.0>, <2, 0.2>} = {<-2, min{0.2, 0.2}>, <-1, max{min{0.2, 1.0}, min{1.0, 0.2}>, <0, max{min{0.2, 0.2}, min{1.0, 1.0}, min{0.2, 0.2}>, <1, max{min{1.0, 0.2}, min{0.2, 1.0}>, <2, min{0.2, 0.2}>} = {<-2, 0.2>, <-l, 0.2>, <0, 1.0>, <1,0.2>, <2, 0.2>}.

Іноді можуть представляти інтерес операції розширеного максимуму і розширеного мінімуму нечітких чисел (інтервалів), які визначаються таким чином.

Визначення 6.12. Операція розширеного максимуму нечітких чисел (інтервалів) позначається через , де функція приналежності результату визначається як:

Визначення 6.13. Операція розширеного мінімуму нечітких чисел (інтервалів) позначається через , де функція приналежності результату визначається як:

Наприклад, нехай задано два нечітких числа – "нечітка одиниця" і "нечіткий нуль", які описуються наступними скінченними нечіткими множинами: ={<0, 0.2>, <1, 1.0>, <2, 0.2>} і ={<-1, 0.1>, <0, 1.0>, <1, 0.1>}. Розглянемо виконання нечіткої операції розширеного максимуму з використанням формули (6.5). Послідовно отримаємо: ={<0, max{min{0.2, 0.1}, min{0.2, 1.0}>, <l, max{min{1.0, 0.1}, min{1.0, 1.0}, min{1.0, 0.1}, min{0.2, 1.0}>, <2, max{min{0.2, 0.1}, min{0.2, 1.0},min{0.2, 0.1}>} = {<0, 0.2>, <1, 1.0>, <2, 0.2>}, тобто результат дорівнює "нечіткій одиниці".

При цьому значення результату виходять як різні комбінації операції звичайного максимуму над парами значень початкових нечітких множин: 0 = max{0 -1}= mах{0, 0}, 1= mах{1 -1}= mах{1, 0}= max {1, 1} = mах{0, 1}, 2 = mах{2-1}= mах{2, 0}= mах{2, 1}.

Аналогічним чином для цього прикладу можна виконати нечітку операцію розширеного мінімуму з використанням формули (6.6). Послідовно отримаємо: ={<-l, max{min{0.2, 0.1}, min{1.0, 0.1}, min{0.2, 0.1}>, <0, max{min{0.2, 1.0}, min{0.2, 0.1}, min{0.2, 1.0}, min{1.0, 1.0}>, <l, max{min{1.0, 0.1}, min{0.2, 0.1}>} = {<-l, 0.1>, <0, 1.0>, <1, 0.1>}, тобто результат дорівнює "нечіткому нулю".