Нечіткі предикати

Визначення 7.2. Нечіткий предикат P(<x₁, x₂, …, x_k>) або, більш строго, k-місний нечіткий предикат, формально визначається як деяке відображення з декартового твору універсумів Х₁, Х₂,..., Х_k в деяку цілком впорядковану множину значень істинності, зокрема, в інтервал [0,1], тобто Р: Х₁×Х₂×...×Х_k→[0, 1]. По аналогії із звичайними предикатами, змінні x₁, x₂, …, x_k називаються предметними змінними нечіткого предикату P(<x₁, x₂, …, x_k>), а декартовий твір універсумів Х₁×Х₂×...×Х_k – його предметною областю.

Взаємозв'язок між нечіткими висловами і нечіткими предикатами встановлюється за допомогою процесу так званого означування нечіткого предикату P(<x₁, x₂, …, x_k>), під яким розуміється підстановка замість предикативних змінних x₁, x₂, …, x_k конкретних значень з відповідних універсумів: a_1∊Х₁, a_2∊Х₂,..., a_k∊Х_k. В цьому випадку нечіткий предикат P(<x₁, x₂, …, x_k>) перетворюється на деякий нечіткий вислів , який приймає конкретне значення істинності, рівне числу з інтервалу [0, 1].

Нечітке узагальнення логіки предикатів першого порядку, так само як і відповідні їй нечіткі числення, не знайшли широкого застосування при вирішенні прикладних завдань. Найбільш конструктивним напрямом в нечіткій логіці виявилося нечітке узагальнення правил продукцій, що використовують нечіткі вислови у формі означування лінгвістичних змінних. В цьому випадку нечіткі вислови можуть комбінуватися за допомогою нечітких логічних операцій або зв'язок, які і розглядаються нижче.

Основні логічні операції з нечіткими висловами

Нехай – деяка множина елементарних нечітких висловів, а Т: →[0, 1] – відображення істинності висловів.

Логічне заперечення нечітких висловів

^{Визначення 7.3. Запереченням нечіткого вислову (записується як: і читається} – "не ", "невірно, що ") називається унарна логічна операція, результат якої є нечітким висловом, істинність якого за визначенням приймає значення:

^{T( ) = l – Т( ). (7.1)}

Очевидно, що прийнятий в математичній логіці спосіб визначати логічні операції за допомогою таблиць істинності не може бути використаний в нечіткій логіці. Причина цього полягає в континуальної потужності множини істиннісних значень [0, 1]. Саме тому центральну роль у визначенні логічних операцій в нечіткій логіці набуває відображення істинності Т, яке має допоміжне значення в класичній математичній логіці.

Прикладом застосування операції логічного заперечення до нечіткого вислову "О. Бендер має досить високий зріст" буде вислів "Невірно, що О. Бендер має досить високий зріст", ступінь істинності якого з урахуванням раніше визначеного значення для Т( ) дорівнює 0.3. Запереченням вислову "Завтра буде похмура погода" буде вислів "Завтра буде не похмура погода", ступінь істинності якого, якщо прийняти Т( ) = 0.2, приймає значення 0.8.

Логічна кон'юнкція нечітких висловів

Визначення 7.4. Кон'юнкцією нечітких висловів і (записується як: ∧ і читається – " і ") називається бінарна логічна операція, результат якої є нечітким висловом, істинність якого визначається за формулою:

Логічну кон'юнкцію нечітких висловів також називають нечітким логічним "І", нечіткою кон'юнкцією або min-кон’юнкцією і іноді записують також у формі AND . При цьому історично прийнято вважати формулу (7.2) основною для визначення ступеню істинності її результату.

По аналогії з операціями над нечіткими множинами, що розглядалися в розділі 4, для визначення ступеню істинності кон'юнкції нечітких висловів можуть бути використані наступні альтернативні формули.

Алгебраїчний твір ступенів істинності нечітких висловів:

Граничний твір ступенів істинності нечітких висловів:

Приклад 7.2. Розглянемо складений нечіткий вислів, що складається з двох елементарних: "О. Бендер має досить високий зріст і завтра буде похмура погода" і припустимо, що істинність першого з них рівна Т( )= 0.7, а істинність другого – T( ) = 0.2. Тоді істинність логічної кон'юнкції цих нечітких висловів, обчислена за основною формулою (7.2), дорівнює: Т( ∧ ) = 0.2. Значення істинності цієї ж кон'юнкції, розраховані по решті формул, дорівнюють: 0.14 і 0.