Нечіткі оператори

Розглянуті вище нечіткі теоретико-множинні операції не вичерпують всі можливі способи їх завдання, які потенційно можна запропонувати в контексті загальної теорії нечітких множин. Великий клас подібних операцій, включаючи і вже розглянуті операції перетину і об'єднання нечітких множин, допускає узагальнене уявлення на основі так званих нечітких операторів. Ці оператори діють на множині значень функцій приналежності (у нашому випадку – на інтервалах [0, 1]) і тому можуть бути безпосередньо застосовані до функцій приналежності довільних нечітких множин. З різноманіття нечітких операторів найбільший інтерес представляють трикутні норма і конорма.

Визначення 4.1. Довільна дійсна функція від 2-х змінних Т:[0,1]х[0,1]→[0,1] називається трикутною нормою, якщо вона задовольняє наступним властивостям, які називаються аксіомами трикутної норми:

Т(х, 0) = 0; Т(х, 1) = х (обмеженість); (3.19)

Т(х, у)= Т(у, х) (комутативність); (3.20)

Т(x, Т(у, z))= Т(Т(х, у), z) (асоціативність); (3.21)

Т(х, у) ≤ T(z1, z2) (монотонність) (3.22)

якщо одночасно х ≤ z₁ и у ≤ z₂.

Аксіома обмеженості забезпечує виконання граничних умов, які повинні виконуватися для всіх операцій перетину нечітких множин, включаючи і звичайні множини. Аксіоми комутативності і асоціативності забезпечують виконання відповідних властивостей у всіх операцій перетину нечітких множин. Аксіома монотонності гарантує незмінність порядку величин значень функцій приналежності від яких би то не було значень інших функцій приналежності. Типовою трикутною нормою є операція -перетину нечітких множин.

Визначення 4.2 (Т-конорма, S-норма). Довільна дійсна функція від 2-х змінних S: [0,1]х[0,1]→[0,1] називається трикутною конормою, якщо вона задовольняє наступним властивостям, так званим аксіомами трикутної конорми:

S(x,0)= x; S(x, 1)= 1 (обмеженість); (3.23)

S(x, у)= S(у, х) (комутативність); (3.24)

S(x, S(у, z))= S(S(x, у), z) (асоціативність); (3.25)

S(x, у) ≤ S(z1, z2) (монотонність) (3.26)

якщо одночасно x ≤ z₁ и y ≤ z₂.

Як можна бачити, аксіоматика цих двох норм практично однакова, окрім першої аксіоми обмеженості конорми. Ця аксіома забезпечує виконання граничних умов, які повинні виконуватися для всіх операцій об'єднання нечітких множин, включаючи і звичайні множини. Типовою трикутною конормою є операція max-об’єднання нечітких множин.

Оскільки областю визначення і областю значень трикутних норм і конорм є інтервал [0, 1], то всі розглянуті раніше операції над нечіткими множинами можуть бути проілюстровані графічно з використанням так званого тривимірного одиничного куба. При цьому результатам операцій -перетину нечітких множин відповідає темніша область на графіці (рис. 4.6). Аналогічно на рис. 4.7 представлені операції -об’єднання нечітких множин в тривимірному просторі.

Рис. 4.6. Графічне представлення операцій –перетину нечітких множин в тривимірному просторі

Рис. 4.7. Графічне представлення операцій -об’єднання нечітких множин в тривимірному просторі