Способи завдання нечітких відношень

Існують різні способи, якими в загальному випадку можуть бути формально задані ті або інші нечіткі відношеньи. Найбільшого поширення з них набули наступні.

1. У формі списку з явним перерахуванням всіх кортежів нечіткого відношення і відповідних ним значень функції приналежності:

де – i-ий кортеж елементів цього відношення, а q – кількість кортежів нечіткого відношення . При цьому для скорочення подібного запису кортежі з нульовими значеннями функції приналежності не вказуються в даному списку. Як неважко помітити, цей спосіб підходить тільки для завдання нечітких відношень з кінцевим і невеликим числом кортежів q.

2. Аналітично у формі деякого математичного виразу для відповідної функції приналежності цього нечіткого відношення. Цей спосіб може бути використаний для завдання довільних нечітких відношень як з кінцевим, так і з нескінченним числом кортежів. В цьому випадку нечітке відношення записується у вигляді: або скорочено: , розуміючи під w загальне позначення кортежу довжини k.

На додаток до цих способів бінарні нечіткі відношеньи також можуть бути задані таким чином.

3. Графічно у формі деякої поверхні або сукупності окремих точок в тривимірному просторі. При цьому дві координати (незалежні змінні) відповідатимуть значенням універсумів X₁ і X₂, а третя координата – інтервалу [0,1]. Наприклад, графік математичної функції: z=x²+y² для x,y [-0.5,0.5] може служити прикладом графічного способу формального завдання деякого нечіткого відношення. Тут функція z є представленням функції приналежності відповідного нечіткого відношення. Цей спосіб часто використовується на додаток до аналітичного для візуалізації бінарних нечітких відношень з нескінченним числом кортежів.

4. У формі матриці нечіткого відношення. Цей спосіб заснований на представленні нечіткого бінарного відношення з кінцевим числом кортежів у формі матриці, рядки якої відповідають першим елементам кортежів, а стовпці – другим елементам кортежів даного нечіткого відношення. При цьому елементами матриці є відповідні значення функції приналежності даного відношення. Якщо бінарне нечітке відношення задається на одному універсумі, то матриця такого відношення є квадратною. Визначену таким чином матрицю називають матрицею бінарного нечіткого відношення і позначають . У цьому контексті табличний спосіб може розглядатися як різновид матричного, оскільки кінцева матриця завжди може бути представлена у формі таблиці.

5. У формі так званого нечіткого графа, а точніше, орієнтованого нечіткого графа.

При цьому вершини нечіткого графа, як і у разі звичайних графів, зображаються точками, дуги – відрізками прямих ліній із стрілкою на одному з кінців. Поряд з вершинами записуються умовні позначення відповідних вершин, а поряд з кожною дугою – значення функції приналежності для відповідної дуги. Натуральне число n визначає загальну кількість вершин конкретного нечіткого графа, а натуральне число m – загальну кількість дуг нечіткого графа. При цьому дуги з нульовою функцією приналежності в нечіткому графові зазвичай не зображаються.

Залежно від кількості кортежів нечітке відношення може бути скінченним або нескінченним. Нечітке відношення називається скінченним, якщо його носій є скінченним відношенням. При цьому цілком доречно говорити, що таке нечітке відношення має кінцеву потужність, яка чисельно дорівнює кількості кортежів його носія, що розглядається як звичайна множина. В цьому випадку для позначення потужності довільного нечіткого відношення можна використовувати загальноприйняте позначення card( ₎. Аналогічно рахунковим нечітким відношенням називатимемо нечітке відношення з рахунковим носієм, тобто носій якого має рахункову потужність N₀ в звичайному сенсі. Незліченним нечітким відношенням називається нечітке відношення з незліченним носієм, тобто носій якого має незліченну потужність або потужність континууму з (або N) в звичайному сенсі.

Для ілюстрації описаних способів завдання відношень розглянемо наступні приклади конкретних нечітких відношень.

Приклад 5.1. Розглянемо кінцеве бінарне нечітке відношення ₁, задане на одному універсумі X, в якості якого візьмемо підмножину перших 10 натуральних чисел: Х={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Хай відношення ₁ описує властивість: "натуральне число х1 – приблизно дорівнює натуральному числу х2".

Конкретне бінарне нечітке відношення ₁ може бути задано у формі списку таким чином: ₁ ={(<1, 1>, 1.0), (<1, 2>, 0.8), (<1, 3>, 0.5), (<1, 4>, 0.2), (<2, 1>, 0.8), (<2, 2>, 1), (<2, 3>, 0.8), (<2, 4>, 0.5), (<2, 5>, 0.2), (<3, 1>, 0.5), (<3, 2>, 0.8), (<3, 3>, 1), (<3, 4>, 0.8), (<3, 5>, 0.5), (<3, 6>, 0.2), (<4, 1>, 0.2), (<4, 2>, 0.5), (<4, 3>, 0.8), (<4, 4>, 1), (<4, 5>, 0.8), (<4, 6>, 0.5), (<4, 7>, 0.2), (<5, 2>, 0.2), (<5, 3>, 0.5), (<5, 4>, 0.8), (<5, 5>, 1), (<5, 6>, 0.8), (<5, 7>, 0.5), (<5, 8>, 0.2), (<6, 3>, 0.2), (<6, 4>, 0.5), (<6, 5>, 0.8), (<6, 6>, 1), (<6, 7>, 0.8), (<6, 8>, 0.5), (<6, 9>, 0.2), (<7, 4>, 0.2), (<7, 5>, 0.5), (<7, 6>, 0.8), (<7, 7>, 1), (<7, 8>, 0.8), (<7, 9>, 0.5), (<7, 10> 0.2), (<8, 5>, 0.2), (<8, 6>, 0.5), (<8, 7>, 0.8), (<8, 8>, 1), (<8, 9>, 0.8), (<8, 10>, 0.5), (<9, 6>, 0.2), (<9, 7>, 0.5), (<9, 8>, 0.8), (<9, 9>, 1), (<9, 10>, 0.8), (<10, 7>, 0.2), (<10, 8>, 0.5), (<10, 9>, 0.8), (<10, 10>, 1).

У цьому списку відсутні кортежі з нульовим значенням функції приналежності Це ж бінарне нечітке відношення може бути задане матрицею M_Q1:

Приклад 5.2. Як нескінченне бінарне нечітке відношення розглянемо нечітке відношення ₂, яке задається на одному універсумі X – множині невід’ємних дійсних чисел R+. Змістовне відношення ₂ описує властивість: "дійсне число x1 значно більше дійсного числа х2". Це нечітке відношення зручно задати аналітично, наприклад, у вигляді наступної функції приналежності:

Фрагмент даного нечіткого відношення може бути зображений у формі графіка цієї функції в тривимірному просторі (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Графічне представлення нечіткого відношення ₂ у формі графіка його функції приналежності

Очевидно, це нескінченне нечітке відношення не можна представити в матричній формі і у формі нечіткого графа.

Приклад 5.3. Припустимо, необхідно побудувати нечітке відношення, яке змістовно описує спрощену ситуацію пошуку несправності в автомобілі. З цією метою в якості першого універсуму розглянемо множину передумов або причин несправності , в якому x1 – "несправність акумулятора", x2 – "несправність карбюратора", x3 – "низька якість бензину", x4 – "несправність системи запалення". В якості другого універсуму розглянемо множину висновків або проявів несправності , де y1 – "двигун не запускається", y2 – "двигун працює нестійко", y3 – "двигун не розвиває повної потужності". При цьому між кожним елементом множини передумов і кожним елементом множини наслідків існує деякий причинний взаємозв'язок.

Особливість побудови нечіткої моделі для описуваної ситуації полягає в тому, що даний причинний взаємозв'язок не є однозначним. Більш того, виходячи з суб'єктивного досвіду конкретного механіка, марки автомобіля, умов його експлуатації і обліку інших чинників цей причинний взаємозв'язок найадекватніше може бути представлений у вигляді бінарного нечіткого відношення , заданого на базисних множинах X і Y. В цьому випадку функція приналежності цього бінарного нечіткого відношення кількісно описує ступінь упевненості в тому, що та або інша причина несправності може привести до того або іншого наслідку.

Стосовно нашого прикладу конкретне нечітке відношення може бути записане у формі списку таким чином: ={(<х1, у1>, 1), (<x1, y2>, 0.1), (<х1, у3>, 0.2), (<x2, y1>, 0.8), (<x2, y2>, 0.9), (<х2,y3>, 1), (<х3,у1>, 0.7), (<x3,у2>, 0.8), (<x3, y3>, 0.5), (<x4, у1>, 1), (<x4, y2>, 0.5), (<х4,у3>, 0.2)}.

Оскільки нечітке відношення бінарне і скінченне, воно може бути представлене у формі таблиці (див. табл. 5.1).

Таблиця 5.1. Нечітке відношення діагностики несправності в автомобілі

	y1	y2	y3
x1	1	0.1	0.2
x2	0.8	0.9	1
x3	0.7	0.8	0.5
x4	1	0.5	0.2

Ця таблиця може бути легко перетворена в матрицю М_p нечіткого відношення, яка в даному конкретному випадку має наступний вигляд:

Для того, щоб представити це нечітке відношення у формі нечіткого графа, зобразимо на площині його вершини, в якості яких виступають елементи множин X і Y. З'єднаємо ці вершини дугами, направленими від вершин, відповідних елементам множини X, до вершин, відповідних елементів множини Y. Поряд з кожною з дуг запишемо значення її функції приналежності. Тим самим отримаємо нечіткий граф G_P даного відношення (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Нечіткий граф відношення (стрілки дуг, направлених від вершин х_i до вершин у_j для зручності не вказані)

Що стосується аналітичного способу представлення даного нечіткого відношення, то оскільки відсутній математичний вираз для запису відповідної функції приналежності, використовувати цей спосіб в даному випадку не представляється можливим.