Трикутні нечіткі числа і трапецієвидні нечіткі інтервали

При вирішенні практичних завдань нечіткого моделювання найбільше застосування знайшли прості окремі випадки нечітких чисел і інтервалів, що отримали свою назву по вигляду їх функцій приналежності. Ці нечіткі числа і інтервали можна розглядати як окремий випадок нечітких чисел і інтервалів (L-R)-типу, якщо в якості відповідних функцій L-типу і R-типу використовувати їх граничні випадки, а саме – лінійні функції. При цьому доцільність використання трапецієвидних нечітких інтервалів і трикутних нечітких чисел обумовлюється не тільки простотою виконання операцій над ними, але і їх наочною графічною інтерпретацією.

Визначення 6.24. Трикутним нечітким числом (скорочено – ТНЧ) називатимемо таке нормальне нечітке число, функція приналежності якого може бути задана трикутною функцією f_∆..

В цьому випадку ТНЧ зручно представити у вигляді кортежу з трьох чисел: = <a, α, β>_∆., де а – модальне значення ТНЧ; α і β – лівий і правий коефіцієнти нечіткості ТНЧ. Оскільки, як було відмічено в розділі 3, кожна трикутна функція приналежності породжує нормальну унімодальну опуклу нечітку множину з непорожнім носієм – відкритим інтервалом (a-α, a+β), то ТНЧ є окремим випадком нечіткого числа (L-R)-типу.

Нагадаємо, що трикутна функція приналежності f_∆ характеризується трьома параметрами і в загальному випадку з використанням виразу (3.1) може бути записана у вигляді f_∆(x; a, b, c). При цьому параметри ТНЧ = <a, α, β>_∆.., однозначним чином пов'язані з параметрами трикутної функції приналежності f_∆(x; a, b, c). А саме, модальне значення ТНЧ тотожно дорівнює параметру b функції приналежності f_∆(x; a, b, c), тобто a=b, а лівий і правий коефіцієнти нечіткості ТНЧ відповідно дорівнюють: а=b-а, β=c-b.

Приклад конкретного ТНЧ <3, 1, 2>_., яке відповідає "нечіткій трійці", зображений на рис. 6.7, а. Очевидно, прикладами ТНЧ також можуть служити нечіткі множини, функції приналежності яких зображені на рис. 3.1, а, а також на мал. 6.1, б.

Визначення 6.25. Трапецієвидним нечітким інтервалом (скорочено – ТНІ) називатимемо нормальний нечіткий інтервал, функція приналежності якого може бути задана трапецієвидною функцією f_T.

В цьому випадку ТНІ зручно представити у вигляді кортежу з чотирьох чисел: = <a, b, α, β>_T, де а і b – відповідно нижнее і верхнє модальні значення ТНІ; α и β – лівий і правий коефіцієнти нечіткості ТНІ. Оскільки кожна трапецієвидна функція приналежності породжує нормальну опуклу нечітку множину з непорожнім носієм – відкритим інтервалом (a–α, b+β), то ТНІ є окремим випадком нечіткого інтервалу (L-R)-типу. Як неважко помітити, трикутне нечітке число є окремим випадком трапецієвидного нечіткого інтервалу = <a, b, α, β>_T при a=b.

Трапецієвидна функція приналежності f_T характеризується чотирма параметрами і в загальному випадку з використанням виразу (3.2) може бути записана у вигляді f_T(х; а, b, с, d). При цьому параметри ТНІ = <a, b, α, β>_T однозначним чином пов'язані з параметрами трапецієвидної функції приналежності f_T(х; а, b, с, d). А саме, нижнє модальне значення ТНІ тотожно дорівнює параметру b функції приналежності f_T(х; а, b, с, d), верхнє модальне значення ТНІ тотожно рівне параметру с функції приналежності f_T(х; а, b, с, d), тобто b=с, а лівий і правий коефіцієнти нечіткості ТНЧ відповідно дорівнюють: α=b–a, β=d–c.

Приклад конкретного ТНІ <4, 6, 2, 1>_Т, яке відповідає "нечіткому інтервалу від 4 до 6", зображений на рис. 6.7, б. Прикладами ТНІ можуть служити також нечіткі множини, функції приналежності яких зображені на рис. 3.1, б, 3.5, 6.1, а, в.

Рис. 6.7. Графічне представлення ТНЧ A_∆= <3,2,1>_∆, (а) і ТНІ A_T<4,6,2,1>_Т (б)