Нечіткі величини, числа і інтервали

Процес нечіткого моделювання ґрунтується на кількісному представленні вхідних і вихідних змінних системи у формі нечітких множин. Таке уявлення пов'язане з розглядом спеціальних нечітких множин, які задаються на множині дійсних чисел і мають деякі додаткові властивості. Найбільш загальним поняттям в цьому контексті є поняття нечіткої величини.

Визначення 6.3. Нечіткою величиною називається довільна нечітка множина , що задана на множині дійсних чисел R, тобто для якого універсумом X служить вся множина R. Іншими словами, функція приналежності нечіткої величини є відображення: R→[0,1]. Якщо в якості універсуму взяти підмножину невід’ємних дійсних чисел R+_, то отримаємо визначення невід’ємної нечіткої величини B+_.

Прикладами нечітких величин є нечіткі множини, функції приналежності яких зображені на рис. 3.1 – 3.8. Більш того, всі ці нечіткі величини є невід’ємними. З іншого боку, розглянуті в прикладах 1.1 і 1.3 нечіткі множини не є нечіткими величинами.

Найбільший інтерес для нечіткого моделювання представляє конкретизація нечіткої величини у формі нечітких чисел і інтервалів.

Визначення 6.4. У загальному випадку нечітким інтервалом називається нечітка величина з опуклою функцією приналежності.

Прикладами нечітких інтервалів можуть служити нечіткі множини з функціями приналежності, зображеними на рис. 2.2, а, 2.3, а і 3.1, б, а також на рис. 3.2 – 3.6. З іншого боку, нечітка множина з функцією приналежності, що зображена на рис. 2.3, б, не є нечітким інтервалом.

У літературі нечіткий інтервал іноді називають також толерантним нечітким числом.

Визначення 6.5. У загальному випадку нечітким числом називається така нечітка величина, функція приналежності якої є опуклою і унімодальною.

Прикладами нечітких чисел можуть служити нечіткі множини з функціями приналежності, зображеними на рис. 2.3, а, 3.1, а і 3.8, б. З іншого боку, нечітка множина з функцією приналежності, що зображена на рис. 2.3, б, не є нечітким інтервалом. Як видно з цих прикладів, нечітке число в загальному випадку є окремим випадком нечіткого інтервалу, що повністю узгоджується із звичайними числами і інтервалами на множині дійсних чисел.

При загальному визначенні нечіткого інтервалу і нечіткого числа не робиться ніяких припущень щодо нормальності відповідних нечітких множин. З іншого боку, функції приналежності нечітких чисел і інтервалів, в загальному випадку, можуть і не мати аналітичного уявлення. Все це утрудняє практичне використання цих загальних понять для вирішення конкретних завдань нечіткого моделювання. З цієї причини надалі розглядаються деякі способи уточнення даних понять на основі використання типових функцій приналежності.

Оскільки нечіткими числами і інтервалами є нечіткі множини, то для них виявляються справедливими всі властивості і операції, визначені раніше для нечітких множин. Це повною мірою відноситься до визначення нормального нечіткого числа і нормального нечіткого інтервалу, носія і ядра, а також властивостей опуклості і унімодальності нечітких чисел і нечітких інтервалів, які були використані при їх визначенні (див. розділи 2 і 3).

Додатково нечіткі числа можуть характеризуватися наступними властивостями.

Визначення 6.6. Нечітке число називається нечітким нулем, якщо його модальне значення (мода) дорівнює 0.

Визначення 6.7. Нечітке число називається додатним (або від’ємним) нечітким числом, якщо воно має строго додатний (відповідно, строго від’ємний) носій.