Нечіткі числа і інтервали у формі (l-r)-функцій
Нечіткі числа і інтервали, які найчастіше використовуються для представлення нечітких множин в нечіткому моделюванні, є нормальними. Проте представлені вище визначення нечіткого числа і нечіткого інтервалу дуже загальні, що утрудняє їх практичне використання. З обчислювальної точки зору зручно використовувати конкретніші визначення нечітких чисел і інтервалів у формі аналітичної апроксимації за допомогою так званих (L-R)-функцій. Отримані в результаті нечіткі числа і інтервали у формі (L-R)-функцій дозволяють охопити достатньо широкий клас конкретних функцій приналежності.
Визначення 6.14. Функція L-munу (а також і R-munу), в загальному випадку визначається як довільна функція L: R→[0,1] і R: R→[0,1], що задана на множині дійсних чисел, не зростає на підмножині невід’ємних чисел R+ і задовольняє наступним додатковим умовам:
L(-х)=L(x), R(-х)=R(x)– умова парності; (6.7)
L(0)=R(0) = 1 – умова нормування. (6.8)
Іноді в літературі можна зустріти ще одну умову, якій повинні, на думку деяких авторів, задовольняти функції (L-R)-типу: L(1)=R(1)=0. Оскільки з одного боку ця умова істотно обмежує клас функцій (L-R)-типу, а з іншого боку, трикутні нечіткі числа, що розглядаються нижче, і трапецієвидні нечіткі інтервали узгоджуються з виконанням цієї властивості, ми його не будемо її включати у визначення функцій (L-R)-типу.
Як неважко подмітити, розглянуті раніше в розділі 3 трикутна функція приналежності f∆(X; а, b, с) при b=0 і а=-с (3.1), трапецієвидна функція приналежності fT(X; а, b, с, d) при а=-d і с=-b (3.2) є функціями (L-R) -типу, оскільки задовольняють умовам визначення (6.7) – (6.8).
Прикладами L-функцій і, відповідно, R-функцій є також наступні функції, які в загальному випадку можуть бути задані аналітично у вигляді:
де р – деякий параметр, який задовольняє умові: р>0. Графіки функцій цього типу для конкретного значення параметра р=2 зображені на рис. 6.3.
Визначення 6.15. Нечітким числом (L-R)-munу називатимемо нечітку величину , функція приналежності якої може бути представлена у формі композиції деякої L-функції і деякої R-функції в наступному вигляді:
де α>0 і β>0. При цьому параметр а є модою або модальним значенням нечіткого числа, а параметри α і β є лівим і правим коефіцієнтами нечіткості відповідно. Як видно з цього визначення, при завданні нечітких чисел (L-R)-типу можуть використовуватися, взагалі кажучи, дві різні функції вказаного вигляду, що істотно розширює діапазон їх можливих представлень.
З даного
визначення виходить, що нечітке число
(L-R)-типу
з функцією приналежності
,
при фіксованих L
і
R
функціях
цілком визначається трійкою своїх
параметрів <а,
α, β>,
що виявляється вельми зручним для
виконання операцій з подібними числами.
Щоб відзначити той факт, що нечітке
число є (L-R)-типу,
його позначатимемо спеціальним чином:
LR
=<
а, α, β >LR.
Розширенням поняття нечіткого числа
(L-R)-типу
є поняття нечіткого інтервалу
(L-R)-типу.
Рис. 6.3. Графіки L-функцій і R-функцій, заданих формулами (6.9) (а) і (6.10) (б) відповідно, для значення параметру р=2
Визначення 6.16. Нечітким інтервалом (L-R)-munу називатимемо нечітку величину, функція приналежності якої може бути представлена у формі композиції деякої L-функції і деякої R-функції в наступному вигляді:
де α>0 і β>0. При цьому параметри а і b визначають ядро нечіткого інтервалу (а < b) і називаються відповідно нижнім і верхнім модальними значеннями нечіткого інтервалу. Параметри α і β як і раніше називаються лівим і правим коефіцієнтами нечіткості відповідно. Слід зазначити, що нечіткий інтервал (L-R)-типу часто називають толерантним нечітким числом (L-R)-типу.
Функція приналежності , нечіткого інтервалу (L-R)-типу при фіксованих L і R функціях цілком визначається четвіркою своїх параметрів <а, b, α, β>, що виявляється вельми зручним для виконання операцій з подібними інтервалами. Щоб відзначити той факт, що нечіткий інтервал є (L-R)-типу, його позначатимемо спеціальним чином: LR=< а,b, α, β >LR.
З визначень (6.11) і (6.12) видно, що при завданні нечітких чисел і інтервалів (L-R)-типу можуть використовуватися дві різні функції вказаного вигляду. При цьому у разі рівності параметрів а=b нечіткий інтервал (L-R)-типу перетворюється на нечітке число (L-R)-типу.
Як приклади введених понять можна привести конкретне нечітке число (L-R)-типу LR =<2, 1, 2>LR. і нечіткий інтервал (L-R)-типу LR =<1, 3, 2, 1>LR, де в якості функції L-типу використана функція (6.9) із значенням параметра р=2, а в якості функції R-типу використана функція (6.9) із значенням параметра р=3. Графічне зображення цих нечіткого числа і нечіткого інтервалу (L-R) -типів представлено на рис. 6.4.
Рис. 6.4. Графіки нечіткого числа (L-R)-типу LR =<2, 1, 2>LR (а) і нечіткого інтервалу (L-R)-типу LR =<1, 3, 2, 1>LR (б)