Контрольні питання

1. Поняття нечіткої множини.

2. Функція приналежності нечіткої множини.

3. Способи завдання нечіткої множини.

4. Основні характеристики нечітких множин.

5. Основні типи функцій належності.

6. Методи побудови функції належності нечітких множин.

Тема 2. Операції над нечіткими множинами

Перш ніж приступити до розгляду операцій над нечіткими множинами слід привести деякі важливі міркування, які необхідно брати до уваги при визначенні нечітких аналогів звичайних теоретико-множинних понять.

По-перше, слід мати на увазі, що та або інша нечітка множина є узагальненням класичної множини. Оскільки в загальному випадку можна запропонувати самі різні варіанти подібного узагальнення, це призводить до принципової неоднозначності тих або інших визначень, що мають аналогію в класичній теорії множин і представляють практичний інтерес. Стосовно операцій над нечіткими множинами це означає, що будь-яке визначення тієї або іншої операції повинне бути справедливим в тому окремому випадку, коли замість нечітких множин використовуються звичайні множини. Іншими словами, подібні визначення повинні перетворюватися на відомі визначення теоретико-множинних операцій, якщо функції приналежності, що беруть участь в них, замінити характеристичними функціями множин.

По-друге, якщо при розгляді класичних множин поняття універсуму можна визначити у формі "все що завгодно", то порівняння нечітких множин і виконання над ними різних операцій стає можливим, тільки коли відповідні нечіткі множини визначені на одному і тому ж універсумі.

Нарешті, по-третє, оскільки кожна нечітка множина цілком визначається своєю функцією приналежності, останнє поняття часто використовується як синонім нечіткої множини. При цьому слід пам'ятати, що в загальному випадку одна і та ж функція приналежності може описувати якісно різні нечіткі множини. З іншого боку, хоча одна і та ж нечітка множина або точніше – та або інша властивість у формі нечіткої множини, може бути представлена різними функціями приналежності, що відображають неоднозначність суб'єктивних або інших уявлень, з формальної точки зору всі з них слід розрізняти і говорити про різні нечіткі множини.

Тому, кажучи про відповідність нечітких множин і функцій приналежності, ми розумітимемо цю відповідність у формі математичного ізоморфізму.

Саме наявність подібного ізоморфізму нечітких множин, заданих однією і тією ж функцією приналежності, дозволяє розглядати формальні визначення на необхідному рівні строгості.

Рівність і домінування нечітких множин

По аналогії із звичайними множинами, перш за все, визначимо два прості звичайні відношення, які можуть мати місце між двома довільними нечіткими множинами і , заданими на одному і тому ж універсумі X. Перше з них – рівність двох нечітких множин.

Рівність нечітких множин. Дві нечіткі множини і вважаються рівними, якщо їх функції приналежності приймають рівні значення на всьому універсумі X:

для будь-якого . (4.1)

Рівність множин в даному випадку записується як = .

Наступним простим відношенням є поняття нечіткої підмножини (або нечіткого домінування) довільних нечітких множин. Формальне це визначення також записується за допомогою відповідних функцій приналежності.

Нечітка підмножина. Нечітка множина є нечіткою підмножиною нечіткої множини (записується як ⊆ ) тоді і тільки тоді, коли значення функції приналежності першого не перевищують відповідних значень функції приналежності другого, тобто виконується наступна умова:

для будь-якого . (4.2)

Так само як і для звичайних множин, для позначення нечіткої підмножини використовується символ "⊆". При цьому у разі ⊆ говорять, що нечітка множина домінує нечітку множину , а нечітка множина міститься в нечіткій множині .

По аналогії з класичними множинами серед нечітких множин розрізняють два різні варіанти домінування. Розглянуте вище визначення характерне для так званої невласної підмножини, коли не виключається випадок можливої рівності двох нечітких множин і . Якщо ж у визначенні нечіткої підмножини виключається рівність відповідних нечітких множин у формі (4.1), то в цьому випадку називається власною нечіткою підмножиною і позначається: ⊂ . При цьому часто говорять, що нечітка множина строго домінує нечітка множина , а нечітка множина строго міститься в нечіткій множині .

Якщо для двох нечітких множин і , заданих на одному універсумі, не виконується ні відношення ⊆ , ні відношення ⊆ , то в цьому випадку говорять, що нечіткі множини і незрівняні.