2. Основні характеристики нечітких множин

Хай = – довільна нечітка множина (скінченна або нескінченна) з елементами з універсуму X і функцією приналежності .

Визначення 2.1. Узагальненням носія нечіткої множини є поняття множини -рівня, під якою розуміється звичайна множина , що задовольняє наступній умові: , де – деяке дійсне число з інтервалу [0,1], т. е. [0, 1].

Іноді можна зустріти також визначення множини строгого -рівня, яка відрізняється строгою нерівністю в умові: . Очевидно, в цьому випадку носій довільної нечіткої множини є його множина строгого 0-рівня, тобто справедлива формальна рівність: .

Як приклад розглянемо визначену вище нечітку множину, що представляє в деякому контексті "невелике натуральне число" і рівне: = {<1, 1.0>, <2, 1.0>, <3, 0.9>, <4, 0.8>, <5, 0.6>, <6, 0.5>, <7, 0.4>, <8, 0.2>, <9, 0.1>}. Тоді деякі з його множин -рівня дорівнюють: _0.8 = {1, 2, 3, 4}; : _0.5 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; : _0.1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Визначення 2.2. Величина, де супремум береться по всіх значеннях функції приналежності для , називається висотою нечіткої множини . Згідно цьому визначенню, нечітка множина порожня, якщо її висота в точності дорівнює 0, тобто .

Наприклад, висота скінченної нечіткої множини "невелике натуральне число" дорівнює 1 і відповідає двом елементам універсуму: 1 і 2.

Розглянемо в якості ще одного прикладу нескінченну нечітку множину, яка представляє "велике дійсне число", з функцією приналежності, заданої таким математичним виразом: для і 1 для . Висота цієї нечіткої множини також дорівнює 1, однак серед елементів універсуму X=R+ відсутні числа, для яких =1 (рис. 2.1). Дійсно, яке б число ми не розглянули, відповідне значення функції приналежності завжди буде строго менше 1

Рис. 2.1. Графік функції приналежності нескінченної нечіткої множини, яка представляє "велике дійсне число"

Особливість визначення висоти полягає в тому, що висота нечіткої множини завжди існує і дорівнює деякому дійсному числу з інтервалу [0, 1], якому може відповідати декілька елементів універсуму. Дійсно, для кінцевих нечітких множин висота завжди дорівнює максимальному значенню їх функцій приналежності. Для нескінченних нечітких множин область значень відповідних функцій приналежності завжди є компактною множиною, тому що є підмножиною інтервалу [0, 1]. А оскільки для довільної компактної множини завжди існує найменша верхня грань, то вона і приймається за визначенням в якості висоти нечіткої множини.

Визначення 2.3. Нечітка множина називається нормальною, якщо максимальне значення її функції приналежності дорівнює 1. Формально це означає, що для нормальної нечіткої множини необхідне виконання наступної умови:

(2.1)

Наприклад, нечітка множина "невелике натуральне число" є нормальною, оскільки її висота дорівнює 1 і відповідає двом її елементам: 1 і 2. Навпаки, нечітка множина "велике дійсне число" не є нормальною.

Визначення 2.4. Якщо висота нечіткої множини дорівнює одиниці ( ), але умова (2.1) не виконується, то таку нечітку множину називатимемо субнормальною.

Очевидно, нечітка множина "велике дійсне число" є субнормальною.

Визначення 2.5. Ядром нечіткого множина називається така звичайна множина А₁, елементи якої задовольняють умові:

.

Наприклад, ядро нечіткої множини "невелике натуральне число" дорівнює двоелементній множині А₁={1, 2}. Нечітка множина "велике дійсне число" має порожнє ядро.

Не важко помітити, що якщо довільна нечітка множина не є нормальною, то ядро такої нечіткої множини буде порожнім. Таким чином, має місце наступна фундаментальна теорема. Для того, щоб деяка нечітка множина була нормальною, необхідно і достатньо, щоб воно мало не порожнє ядро.

Оскільки, як було показано вище, висота нечіткої множини завжди існує, то довільну не порожню нечітку множину завжди можна перетворити щонайменше до субнормальної нечіткої множини ’ за наступною формулою:

(2.2)

Більш того, якщо в початковій нечіткій множині знайдеться хоча б один елемент , для якого значення функції приналежності дорівнює висоті цієї нечіткої множини, тобто , то отримана після перетворення (2.2) нечітка множина буде нормальною.

Визначення 2.6. Межами нечіткої множини називаються такі елементи універсуму, для яких значення функції приналежності відмінні від 0 і 1. Іншими словами, межі нечіткої множини = включають ті і лише ті елементи універсуму, для яких виконується умова: 0< <1.

Визначення 2.7. Елементи нечіткої множини, для яких виконується умова: , називаються точками переходу цієї нечіткої множини.

Визначення 2.8. Часто виявляється корисним поняття чіткої множини А, найближчої до нечіткої множини . Характеристична функція такої множини може бути визначена наступним чином:

(2.3)

Рис. 2.2. Ядро, носій і межі нечітких множин, одне з яких є нормальним (а), а інше – не є нормальним (б)

Для характеристики нечітких множин використовують також поняття опуклості, яке асоціюється з відповідним графічним зображенням функції приналежності.

Визначення 2.9. Нечітку множину з універсумом X називають опуклою, якщо її функція приналежності задовольняє наступній нерівності:

(2.4)

для будь-яких значень , при яких і .

Рис. 2.3. Графіки функцій приналежності опуклої (а) і не опуклої (б) нечіткої множини

Визначення опуклості для нечітких множин відрізняється від відомого в аналізі, оскільки має більш загальний математичний контекст. Проте, його вельми зручно використовувати на практиці, оскільки окрім безперервних функцій приналежності воно може бути застосовне до скінченних нечітких множин, а також до множин, функція приналежності яких не є безперервною кривою.

На рис. 2.3 зображені графіки двох функцій приналежності, перша з яких є опуклою, а друга – не є опуклою.