Операції над трикутними нечіткими числами і трапецієвидними нечіткими інтервалами

Нехай і – два довільних трикутних нечітких числа, які задані параметрично у вигляді: = <a₁, α₁, β₁>_{∆ і} = < a₂, α₂, β₂>_∆.. Для цих ТНЧ виявляються справедливими аналоги звичайних арифметичних операцій, введених вище для трикутних нечітких чисел (L-R)-типу. А саме, операція складання ТНЧ визначається виразом (6.13), операція віднімання ТНЧ – виразом (6.14), операція множення ТНЧ – виразами (6.15)–(6.17), операція ділення – виразом (6.18), і, нарешті, зворотне ТНЧ – виразом (6.19).

Наприклад, для конкретних ТНЧ =<3, 1, 2>_. і =<2, 2, 1>_. результати арифметичних операцій наступні: + =<5, 3, 3>_., - = <1 ,2 ,4>_., ∙ =<6, 8, 7>_., ÷ = <1.5, 1.25, 2.5>_.. Графіки результатів операцій з цими ТНЧ зображені на рис. 6.9 (а–г) відповідно.

Рис. 6.9. Графіки ТНЧ: "нечітка п'ятірка" (а) і "нечітка одиниця" (б), "нечітка шестірка" (в) і "нечіткий дріб 3/2" (г), які є результатами виконання операцій складання, віднімання, множення і ділення ТНЧ: "нечітка трійка" і "нечітка двійка" відповідно

Перейдемо до розгляду операцій з ТНІ. Нехай і – два довільних трапецієвидних нечітких інтервалу, які задані параметрично у вигляді: =< a₁, b₁, α₁, β₁>_T і =< a₂, b₂, α₂, β₂>_T.

Визначення 6.26. Операція складання ТНІ позначається через + = = < a, b, α, β>_T, де параметри а, b, α і β результату визначаються таким чином:

a=a₁+a₂, b=b₁+b₂, α=α₁+α₂, β=β₁+β₂. (6.20)

Визначення 6.27. Операція віднімання ТНІ позначається через – = = < a, b, α, β>_T, де параметри а, b, α і β результату визначаються таким чином:

a=a₁–a₂, b=b₁–b₂, α=α₁+β₂, β=β₁+α₂. (6.21)

Визначення 6.28. Множення додатних ТНІ і , тобто носії яких є підмножинами R+_, а всі модальні значення додатні. Операція множення таких ТНІ позначається через * = =< a, b, α, β>_T, де параметри а, b, α і β результату визначаються таким чином:

a=a₁a₂, b=b₁b_2, α=a₁α₂+a₂α₁, β=b₁β₂+b₂β₁. (6.22)

Визначення 6.29. Ділення позитивних ТНІ і , тобто носії яких є підмножинами R+_, а всі модальні значення додатні. Операція ділення таких ТНІ позначається через = = < a, b, α, β>_T, де параметри а, b, α і β результату визначаються таким чином:

a=a₁/b₂, b=b₁/a_2, α=(a₁β₂+b₂α₁)/b₂², β=(b₁α₂+a₂β₁)/a₂². (6.23)

Наприклад, розглянемо два конкретних ТНІ: =<3, 5, 1, 2>_T і =<1, 2, 1, 1>_T. Перший з них відповідає "нечіткому інтервалу від трьох до п'яти", а другий – "нечіткому інтервалу від одиниці до двох". Тоді результат їх складання з використанням формул (6.20) дорівнює ТНІ + =<4, 7, 2, 3>_T і відповідає "нечіткому інтервалу від чотирьох до семи". Результат віднімання з першого ТНІ другого ТНІ з використанням формул (6.21) дорівнює ТНІ: – = <2, 3, 2, 3>_T і відповідає "нечіткому інтервалу від двох до трьох". Графіки відповідних ТНІ представлені на рис. 6.10.

Рис. 6.10. Графіки ТНІ: "нечіткий інтервал від трьох до п'яти" (а), "нечіткий інтервал від одиниці до двох" (б), а також результат їх складання (в) і віднімання (г)

Для нас представляють інтерес операції розширеного максимуму і розширеного мінімуму ТНІ = <a₁, b₁, α₁, β₁>_{T і} = < a₂, b₂, α₂, β₂>_T (відповідно – ТНЧ), які визначаються таким чином.

Визначення 6.30. Операція розширеного максимуму ТНІ позначається через max{ , }= = <a, b, α, β>_T, де параметри a, b, α і β результату визначаються таким чином:

a = max{a₁,a₂}, b = max{b₁,b₂},

α= a–max{a₁-α₁, a₂-α₂}, β = max{b₁+β₁, b₂+ β₂}–b. (6.27)

Визначення 6.31. Операція розширеного мінімуму ТНІ позначається через min{ , }= = <a, b, α, β>_T, де параметри a, b, α і β результату визначаються таким чином:

a = min{a₁,a₂}, b = min{b₁,b₂},

α= a–min{a₁-α₁, a₂-α₂}, β = min{b₁+β₁, b₂+ β₂}–b. (6.28)

На закінчення приведемо деякі рекомендації, які доцільно використовувати в процесі представлення різних термів тих або інших лінгвістичних змінних нечіткими числами і інтервалами (L-R)-типу, а також їх простішими окремими випадками – ТНЧ і ТНІ (див. табл. 6.1).

Таблиця 6.1. Представлення термів лінгвістичних змінних

Підводячи підсумок, відмітимо, що при вирішенні практичних завдань нечіткого моделювання найбільш зручними виявляються ТНЧ і ТНІ. Саме вони найчастіше використовуються для представлення вхідних і вихідних змінних нечітких моделей систем управління.