Упругие волны |
25 |
|
|
Отметим, что для волны, распространяющейся в положительном направлении оси Х, в любой момент величины ! и ux противоположны по знаку, согласно (1.18), и значит все время jx > 0, как и должно быть в данном случае.
§ 1.5. Стоячие волны
Уравнение стоячей волны. При распространении в упругой среде одновременно нескольких волн возникает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды оказываются векторной суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Это называют принципом суперпозиции (наложения) волн.
Рассмотрим практически важный случай, когда две гармонические волны с одинаковыми частотой и амплитудой a распространяются в противоположных направлениях оси Х:
1 acos( t – kx) è 2 acos( t + kx).
Чтобы не усложнять формулы, начала отсчета времени и координаты выбраны так, чтобы добавочные фазы 1 и 2 были равны нулю.
Суперпозиция этих волн дает:
1 2 A cos kx cos t, ãäå À = 2a. |
(1.54) |
Это и есть уравнение стоячей волны. Видно, что ее частота та же, т. е. , а амплитуда равна 
Acos kx
и, в отличие от бегущей гармонической волны, зависит от х. В точках, где 
cos kx
1, мы имеем максимумы — пучности, а где coskx = 0, — минимумы — узлы. Период 
cos kx
равен , поэтому k x = и x /k /2. Т. е. интервалы между соседними пучностями или узлами равны половине длины волны (рис. 1.8, где показаны крайние смещения через половину периода).
Рис. 1.8
26 Глава 1
Между двумя соседними узлами все точки среды колеблются синфазно, при переходе же через узел фаза изменяется на , т. е. колебания по разные стороны от узла (в пределах полуволны) происходят в противофазе. Узлы смещения как бы разделяют среду на автономные области, в которых гармонические колебания совершаются независимо. Никакой передачи движения из одной области к другой, а значит и перетекания энергии через узлы не происходит. Другими словами, нет никакого распространения возмущения вдоль оси Х. Именно поэтому возмущения, описываемые формулой (1.54), и называют стоячей волной.
Энергия стоячей волны. Переходя к распределению энергии
в стоячей волне, определим сначала с помощью (1.54) выраже- |
||
|
# |
|
ние для скорости частиц среды и ее относительной деформа- |
||
ции / x: |
# |
|
|
|
|
|
A coskx sin t, |
(1.55) |
|
Ak sinkx cos t. |
|
|
|
|
#
Видно, что обе величины, и , тоже стоячие волны, причем они сдвинуты относительно друг друга по фазе на /2 — как в пространстве,# так и во времени. Кроме того, узлы и пучности скорости частиц среды совпадают с узлами и пучностями их смещения . Узлы же и пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения. Это показано на рис. 1.9 для моментов t = 0 и t = T/4, здесь узлы смещения отмечены жирными точками. В момент t = 0, когда и ста-
t=0
0
X
t=T/4
0
X
Рис. 1.9
Упругие волны |
27 |
|
|
#
новятся максимальными, скорость обращается в нуль, и наоборот (t = T/4).
Соответственно происходят превращения энергии стоячей волны: то полностью в потенциальную (упругую), то полностью в кинетическую (аналогичное происходит при колебаниях маятника). На рис. 1.10 показано распределение плотности энергии в моменты t = 0 и t = T/4. В процессе колебаний происходит перетекание энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний же по времени поток энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю.
Рис. 1.10
Пример. В тонком стержне установилась продольная стоячая волна видаa sin kx sin t. Найдем проекцию вектора Умова на ось Х, взятую вдоль стержня.
Воспользовавшись формулой (1.52), запишем:
j E |
|
|
|
E (ak cos kx sin t ) (a sin kx cos t ) |
|
|
|
||||
x |
x |
|
t |
|
|
|
|
|
|
1 |
Ea2k sin 2kx sin 2 t. |
|
|
4 |
|
||
Видно, что jx периодически меняет знак, а значит вектор j — направление. Но в любом сечении pjxq 0, а в сечениях, где 2kx = n , n — целое число, jx = 0 постоянно. Эти сечения отстоят друг от друга на /4.
Колебания струны (стержня). В натянутой струне, закрепленной с обоих концов, при возбуждении какого-либо произвольного поперечного возмущения возникнет довольно сложное нестационарное движение. Стационарное же движение в виде стоячей волны возможно лишь при вполне определенных частотах. Это связано с тем, что на закрепленных концах струны должны выполняться определенные граничные условия: в них смещение все время должно равняться нулю. Значит, если в стру-
28 |
Глава 1 |
|
|
не возбуждается стоячая волна, то концы струны должны быть ее узлами. Отсюда следует, что на длине струны l должно укладываться целое число n полуволн: l n /2. Из этого условия находим возможные длины волн:
n = 2l/n, n = 1, 2,... |
(1.56) |
Соответствующие частоты
n |
|
v |
|
v |
n , |
(1.57) |
|
|
|||||
n |
|
n |
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|||
где v — фазовая скорость волны, определяемая, согласно (1.30), силой F натяжения струны и линейной плотностью 1, т. е. массой единицы ее длины.
Частоты nn называют собственными частотами струны. Частоту n1 (n = 1) называют основной частотой, остальные n2, n3, ... — обертонами. Гармонические колебания с частотами (1.57) называют собственными колебаниями, или гармониками. В общем случае колебания струны представляют собой суперпозицию различных гармоник (спектр).
Колебания струны примечательны тем, что в рамках классической физики возникает дискретный спектр одной из величин (частоты). Такая дискретность для классической физики является исключением, в отличие от квантовой физики.
Приведенные выше соображения относятся не только к струне, но и к стержням, закрепленным различным образом — в середине, на одном конце и т. д. Отличие заключается лишь в том, что свободный конец стержня является пучностью. Это касается как поперечных, так и продольных колебаний.
Пример. Найдем собственные частоты стержня, закрепленного на одном конце, если длина стержня l, модуль Юнга материала стержня E и его плотность .
Поскольку свободный конец стержня должен быть пучностью, на длине стержня установится целое число полуволн и еще четверть волны, т. е. l = n /2 + /4 = (2n + 1) /4. Отсюда найдем возможные значения n, а затем, учитывая (1.26), и собственные частоты:
nn v/ n 
E/ (2n 1)/4l, n 0,1,2,...