Задачи

3.2.Воспользовавшись формулой из предыдущей задачи, показать, что луч света, последовательно отразившийся от трех взаимно перпендикулярных плоских зеркал, изменит свое направление на прямо противоположное. Это так называемый уголковый отражатель — идеальный объект для радаров.

Р е ш е н и е. Согласно формуле из предыдущей задачи можно записать

e1 e0 2(e0n1 )n1, e2 e1 2(e1n2 )n2, e3 e2 2(e2n3 )n3. (1)

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим после сокращения:

В этом выражении (e1n2) (e0n2) — это следует из (1), если первое равенство умножить скалярно на n2. Поступая аналогично, найдем: (e2n3) (e1n3) (e0n3). После этого (2) можно переписать так:

Величины в круглых скобках — это направляющие косинусы орта e0 относительно координат с ортами n1, n2, n3. Значит, величина в квадратных скобках есть просто e0 и e3 = –e0, что и требовалось доказать.

3.3.Свет интенсивности I0 падает нормально на идеально прозрачную пластинку. Считая, что коэффициент отражения каждой поверхности ее = 0,05, найти интенсивность I прошедшего через пластинку света с учетом:

а) только однократных отражений; б) многократных отражений.

Р е ш е н и е. а) После первой поверхности интенсивность будет равна I0(1 ), после второй поверхности

I I0 (1 )2 − I0 (1 2 ) 0,9I0.

б) После прохождения двух поверхностей интенсивность равна I0(1 )2. При этом часть I0(1 ) отражается от второй поверхности и затем, отразившись от первой поверхности, станет равной I0(1 ) 2. И световая волна при прохождении второй поверхности будет иметь интенсивность I0(1 )2 2 — это после двукратного отражения. Следующая волна испытает четырехкратное отра-

86 Глава 3

жение и выйдет из пластинки с интенсивностью I0(1 )2 4. Затем надо учесть вклады от шести-, восьми- и т. д. кратных отражений.

В сумме интенсивность проходящего света можно представить как

I I0 (1 )2 (1 2 4 ... ) I0 (1 ) / (1 ) − 0,9I0,

где учтено, что сумма геометрической прогрессии 1 2 4 ...1/(1 2).

Полученный результат практически совпадает с найденным в предыдущем пункте (отличие составляет всего I5 I − 2 0,25%). Поэтому, как правило, многократными отражениями пренебрегают.

3.4.Преломление света. При каком значении угла падения :1 луч, отраженный от поверхности прозрачного диэлектрика, будет пер-

пендикулярен преломленному лучу, если показатель преломления диэлектрика равен n?

Р е ш е н и е. В этом случае должны быть выполнены два условия:

где :1 — угол отражения, равный углу :1. Поэтому первое равен-

ство запишем так:

sin :1 n sin( /2 :1 ) n cos :1.

Отсюда следует, что tg :1 n.

3.5.Пучок параллельных лучей интенсивности I0 падает на поверхность прозрачного диэлектрика с показателем преломления n. Угол падения :1 таков, что tg :1 n. При этом -часть светового потока отражается. Найти интенсивность преломленного пучка.

Ре ш е н и е. Пусть пучок параллельных лучей падает на поверхность диэлектрика площади S (рис. 3.17). Исходим из того, что для потоков должно выполняться равенство

0

3.7.Перед выпуклой поверхностью толстой стеклянной выпукло-плос- кой линзы толщины d находится предмет. Его изображение образуется на плоской поверхности линзы, которая служит экраном. Показатель преломления стекла n.

Определить:

а) поперечное увеличение , если радиус кривизны выпуклой поверхности линзы равен R;

б) освещенность изображения, если яркость предмета L и диаметр входного отверстия выпуклой поверхности линзы равен D (потерями света пренебречь).

Р е ш е н и е. а) Согласно формуле (3.27)

Задача сводится к нахождению s — расстояния предмета от выпуклой поверхности линзы. Для этого используем соотношение (3.20). В нашем случае (рис. 3.19) оно примет вид:

Рис. 3.19

Отсюда найдем 1/s и полученное выражение подставим в (1). В результате получим

б) Освещенность изображения E Ф/ S , где Ф L SΒ — это следует из формулы (3.37), где учтено, что угол : мал и cos: − 1;S и S — площади изображения и предмета. Таким образом,

Заменив увеличение выражением (1), получим после сокращения на s2

E n2LD2 . 4d2

3.8.Найти светимость M поверхности, яркость которой зависит от на-

правления как L L0cos:, где : — угол между направлением излучения и нормалью к поверхности.

Р е ш е н и е. Исходим из формулы (3.36), где согласно (3.37)

dФисп L S cos: dΒ.

Учитывая, что L L0cos: и dΒ 2 sin: d:, запишем выражение для полного испускаемого потока:

èñï L0 cos : S cos : 2 sin : d:

/ 2

2 L0 S cos2: d( cos :) 32 L0 S.

:0

Разделив Фисп на S, получим

M32 L0.

3.9.Тонкая линза. Найти с помощью формулы преломления на сферической границе раздела (3.20) формулу тонкой линзы в воздухе.

Ре ш е н и е. Применим ука-

Для задней поверхности линзы источник S0 находится справа (он мнимый), и мы имеем:

где s0 > 0, а R2 < 0 (в соответствии с правилом знаков).

роль оптического центра линзы: любой луч, проходящий через точку K, не преломляется линзой, например, луч KK . Луч же, проходящий через центр линзы (здесь он не является оптическим центром), преломляется, что легко проверить с помощью построения. Для точечного источника, помещенного в точку K, линзы как бы нет.

б) Здесь, согласно (3.29), справа от линзы показатель преломления среды больше, n 0 n. Ход построения показан на рис. 3.22, б. Вспомогательный луч 1, параллельный падающему и проходящий через передний фокус F (он справа от линзы), должен за линзой стать параллельным оси OO , это луч 2. Его точка пересечения с задней фокальной плоскостью 3 (она слева от линзы) определяет положение мнимого изображения — точки S . Продолжение исходного луча за линзой должно проходить через точку S — луч 4. Положение узловой точки K найдем, проведя через точку S прямую, параллельную исходному лучу. Точка пересечения этой прямой с оптической осью OO и есть точка K. Любой луч, проходящий через эту точку, линзой не преломляется (например, луч KK ).