Взаимодействие света с веществом |
235 |
|
|
Отсюда находим искомую концентрацию свободных электронов:
N0 0me 2/e2 4 2 0n20/e2 2,0 109 ñì 3.
§ 7.3. Групповая скорость
Волновой пакет. Строго монохроматическая волна — это идеализация. Таких волн в природе нет. Любая реальная волна, согласно теореме Фурье, может быть представлена как суперпозиция монохроматических волн с различными амплитудами и частотами в некотором интервале . Суперпозицию волн, мало отличающихся друг от друга по частотам ( I ), называют волновым пакетом или группой волн. Вид волнового пакета в некоторый момент времени показан на рис. 7.6. В его пределах монохроматические составляющие усиливают друг друга, вне пакета практически гасят друг друга.
Ex
0 |
X |
Рис. 7.6
В вакууме все монохроматические волны, образующие пакет, распространяются, как уже было сказано выше, с одинаковой фазовой скоростью
v /k, |
(7.12) |
где k — волновое число (2 / ). С такой же скоростью распространяется в вакууме и сам волновой пакет, не изменяя своей формы.
Групповая скорость. В диспергирующей же среде волновой пакет расплывается, поскольку скорости его монохроматических составляющих отличаются друг от друга, и понятие скорости такой волны требует уточнения.
236 |
Глава 7 |
|
|
Если дисперсия достаточно мала, расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. В этом случае волновому пакету можно приписать скорость u, с которой перемещается его «центр тяжести». Это так называемая групповая скорость. Соответствующий расчет дает, что групповая скорость определяется как
u d /dk. |
(7.13) |
|
|
Поясним эту формулу на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и несколько отличными друг от друга длинами волн (и частотами). На рис. 7.7, а показано их относительное расположение в некоторый момент времени, а на рис. 7.7, б — результат их суперпозиции. Нас будет интересовать скорость, с которой перемещается место с максимальной амплитудой — это и будет скорость волнового пакета — групповая скорость. Определим ее величину.
Рис. 7.7
Пусть уравнения этих двух монохроматических волн имеют вид:
E1 A cos ( t kx) ,
E2 A cos <( d )t (k dk)x= .
В результате их наложения образуется суммарная волна
E E |
E 2 A cos |
td xdk |
cos ( t kx). |
(7.14) |
|
||||
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Взаимодействие света с веществом |
237 |
|
|
Это выражение можно рассматривать как уравнение монохроматической волны, амплитуда которой меняется по закону
A0 
2 A cos td xdk 
. 2
Отсюда следует, что точки, соответствующие, например, максимуму амплитуды, движутся по закону
td xdk 0,
откуда x (d /dk)t. Величина в скобках и есть групповая скорость (7.13).
Выражение для групповой скорости можно представить в ином виде. Заменив через vk согласно (7.12), получим:
u |
d |
(vk) v k |
dv |
. |
(7.15) |
dk |
|
||||
|
|
dk |
|
||
Так как k 2 / и |
dk (2 / 2 )d , где — длина волны |
|||||
в среде, то выражение |
(7.15) можно переписать так: |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v |
dv |
. |
|
(7.16) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
d |
|
|
|
Это так называемая формула Рэлея. В области нормальной дисперсии (dv/d > 0) групповая скорость u оказывается меньше фазовой скорости v. В отсутствие дисперсии dv/d = 0, и групповая скорость совпадает с фазовой (об этом уже говорилось).
Существует простой графический способ нахождения групповой скорости по кривой v ( ). Он показан на рис. 7.8. В слу-
v
A
v
u
0
Рис. 7.8
238 |
Глава 7 |
|
|
чае группы волн роль играет только малый участок кривой v( ) в узком диапазоне ( I ). Отрезок, который отсекает на оси ординат касательная к кривой v( ), проведенная через точку А, равен v – (dv/d ), т. е. групповой скорости u при данной длине волны .
Пример. Найдем выражение для групповой скорости в среде с известной зависимостью показателя преломления от частоты электромагнитной волны, n( ).
Будем исходить из определения групповой скорости — формулы (7.13). Принимая во внимание, что фазовая скорость v /k c/n, получим
k n/c .
Теперь возьмем производную dk/d :
dk |
|
d |
n |
|
1 |
dn |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
d |
|
d c |
|
c |
d |
|||||
Подстановка обратного значения этой величины, т. е. d /dk, в (7.13) приводит к искомому результату:
u |
d |
|
c |
. |
|
|
|||
|
dk n (dn/d ) |
|
||
В некоторых случаях групповая скорость, вычисленная по приведенным выше формулам, оказывается больше с — скорости света в вакууме. Так будет, например, в области аномальной дисперсии. Это не противоречит теории относительности, ибо групповая скорость выражает скорость сигнала лишь тогда, когда волновой импульс в процессе распространения практически не изменяет своей формы. В области же аномальной дисперсии импульс сильно деформируется, и групповая скорость в таких условиях утрачивает определенное физическое содержание.
Групповая скорость и перенос энергии. Рассмотрим вопрос о скорости распространения энергии, переносимой электромагнитной волной. Прежде всего заметим, что фазовая скорость монохроматической волны не имеет ничего общего со скоростью переноса энергии. Фазовая скорость устанавливает только связь между фазами колебаний в различных точках пространства.
Строго монохроматическая волна не может служить для передачи сигнала, поскольку она не имеет ни начала, ни конца во