ра. Вот почему при восходе и заходе Солнце кажется красным. Аналогично объясняется и красный цвет зари.

Эффект, связанный с молекулярным рассеянием света, зависит от температуры: с ее ростом он увеличивается, и это подтверждает эксперимент.

Ослабление узкого светового пучка. В результате рассеяния интенсивность узкого светового пучка убывает в направлении распространения быстрее, чем в случае одного лишь поглощения. Поэтому для мутной среды в выражении (7.18) вместо коэффициента поглощения k должен стоять коэффициент ослабления

где k’ — коэффициент экстинкции, связанный с рассеивающими свойствами среды. Тогда интенсивность пучка будет изменяться с проходимым расстоянием x как

Еще раз отметим, что эта зависимость относится к узкому световому пучку.

Задачи

7.1.Дисперсия света. Электромагнитная волна распространяется в разреженной плазме, концентрация свободных электронов кото-

рой равна N0. Пренебрегая взаимодействием волны с ионами плазмы, найти зависимость фазовой скорости волны от ее частоты

.

Ре ш е н и е. В случае плазмы (электроны свободные) собственная

частота колебаний электронов 9 = 0, поэтому согласно (7.11) диэлектрическая проницаемость

1 b/ 2,

где b N0e2/ 0me, me — масса электрона. Следовательно, фазовая скорость

7.2.Найти концентрацию свободных электронов ионосферы, если для радиоволн с частотой n = 100 МГц ее показатель преломления n = 0,90.

Р е ш е н и е. Согласно (7.11) для плазмы ( 9 = 0)

где b N0e2/ 0me, 2 n. После подстановки выражений для b и

в (1) получим:

N0 4 2 0men2 (1 n2 ) − 2,4 107 ñì 3. e2

7.3.Имея в виду, что для достаточно жестких рентгеновских лучей электроны вещества можно считать свободными, определить, насколько отличается от единицы показатель преломления графита для рентгеновского излучения с длиной волны = 50 пм (в вакууме).

Р е ш е н и е. Исходя из формулы (7.11) и учитывая, что в рассматриваемом случае 0 = 0, запишем:

где b N0e2/ 0me, N0 (NA/A) Z, — плотность графита (1,6 г/см3), Z — число электронов в атоме (Z = 6). Искомое различие

Вычислив значение величины b/ 2, обнаруживаем, что она значительно меньше единицы, поэтому формулу (1) можно упростить:

n 1 b/2 2 b 2/8 2c2 5,4 10 7,

где 2 c/ .

7.4.Групповая скорость. Найти зависимость между групповой u и фазовой v скоростями для следующих законов дисперсии:

а) v T k; б) v T 1/ 2.

Здесь k и — волновое число и циклическая частота.

Р е ш е н и е. а) По определению, u = d /dk, где = vk. Тогда

Пусть v = ak, где а — некоторая постоянная. В этом случае (1) примет вид

u = v + àk = 2v.

б) Пусть v / 2, — некоторая постоянная. Тогда

Поэтому групповая скорость

u d v . dk 3

7.5.Показатель преломления вещества для близких длин волн 1 и 2 (в вакууме) равен соответственно n1 и n2. Определить групповую скорость света в области данных длин волн.

Р е ш е н и е. Преобразуем в соответствии с условиями задачи выражение для групповой скорости (7.13) так, чтобы оно содержало n, и производную dn/d . Для этого запишем

Теперь учтем, что k = 2 / и dk = –2 d / 2. После подстановки этих выражений в (1) получим:

где p q ( 1 2)/2, pnq (n1 n2)/2, n n2 – n1, 2 – 1.

7.6.В некоторой среде связь между групповой и фазовой скоростями электромагнитной волны имеет вид uv = с2, где с — скорость све-

та в вакууме. Найти зависимость диэлектрической проницаемости этой среды от частоты волны, ( ).

Р е ш е н и е. Исходим из выражения (7.13) для групповой скорости u = d /dk, где согласно (7.12) k /v n/c. Учитывая, что n , перепишем предыдущее соотношение для k так:

k /c.

интенсивности света, прошедшего через первую и вторую пластинки:

I1 I0(1 – )2exp(–kh1),

(1)

I2 I0(1 – )2exp(–kh2),

где I0 — интенсивность падающего света, — неизвестный коэффициет отражения (он одинаков для обеих поверхностей пластинки). Имея в виду, что I1/I0 = /1 и I2/I0 = /2, найдем отношение обеих формул (1) и тем самым исключим неизвестное . В результате получим:

/1//2 exp[k(h2 – h1] ,

откуда, потенцируя, находим:

k ln(/1//2 ) . h2 h1

7.8.Монохроматический пучок света падает нормально на поверхность плоскопараллельной пластинки толщиной h. Коэффициент поглощения вещества пластинки линейно изменяется вдоль нор-

мали к ней от значения k1 до k2. Коэффициент отражения от каждой поверхности считать одинаковым и равным . Пренебрегая вторичными отражениями, найти коэффициент пропускания /

для данной пластинки.

Р е ш е н и е. Выделим в пластинке бесконечно тонкий слой от х до х + dх, в пределах которого коэффициент поглощения равен k. Убыль интенсивности света, прошедшего через этот слой, запишем как

В нашем случае коэффициент поглощения зависит от х линейно, а именно

После подстановки (2) в (1) получим:

После прохождения второй поверхности пластинки интенсивность света окажется I Ih(1 ), см. рис. 7.12.

В результате искомый коэффициент пропускания

7.9.Точечный монохроматический источник, испускающий световой поток 0, находится в центре сферического слоя однородного вещества, внутренний радиус которого равен а, наружный — b. Коэффициент поглощения вещества слоя равен k, коэффициент отражения каждой поверхности — . Пренебрегая вторичными отражениями, найти интенсивность света на выходе из этого слоя.

Р е ш е н и е. Записав убыль светового потока при прохождении бесконечно тонкого сферического слоя вещества толщиной от r до r + dr (рис. 7.13), получим

где учтены формулы (1) и (2).

7.10.Пучок естественного монохроматического света интенсивности

I0 падает на систему из двух скрещенных поляризаторов, между которыми находится трубка с некоторой оптически неактивной

жидкостью в продольном магнитном поле с индукцией В. Длина трубки l, коэффициент поглощения жидкости k и постоянная Верде V. Пренебрегая отражениями на торцах трубки, найти интенсивность света, прошедшего через эту систему.

Р е ш е н и е. После прохождения первого поляризатора P свет

становится поляризованным с интенсивностью, равной I0/2. До второго поляризатора P дойдет свет, интенсивность которого согласно закону Бугера (7.18) будет равна (I0/2)e–kl.

Кроме того, в магнитном поле произойдет поворот направления линейной поляризации на угол= VlB, см. рис. 7.14. Поэтому поляризатор P пропустит согласно закону Малюса только ту часть интенсивности света, которая пропорциональна cos2(90o ) sin2 .

I = (I0/2) e–kl sin(VlB).