и мы получим из предыдущих двух формул, что

jсм макс 2 0I/c,

где c 1/ 0 40.

В стоячей электромагнитной волне энергия переходит из чисто электрической, имеющей максимумы в пучностях E, в магнитную с максимумами в пучностях вектора H, т. е. смещенным в пространстве на /4. Это аналогично поведению гармонического осциллятора, например математического маятника, где энергия переходит из чисто потенциальной (в крайнем положении) в кинетическую (в положении равновесия), и наоборот.

Отметим, что если волна представляет собой наложение двух бегущих волн со взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации (направлением колебаний вектора Е), то ее интенсивность независимо от особенностей этих волн будет равна сумме интенсивностей складываемых волн. Действительно, Е = Е1+Е2, а интенсивность I T pE2q pE12 2E1E2 E22q. Поскольку Е1 + Е2, скалярное произведение Е1Е2 = 0, и мы имеем

I = I1 + I2.

§ 2.5. Импульс электромагнитной волны

Перенос энергии электромагнитной волной сопровождается и переносом импульса. Согласно теории относительности, импульс объекта с нулевой массой покоя, движущегося со скоростью света, p = W/c, где W — его энергия (это по существу верно и для электромагнитной волны как потока фотонов). Поскольку в случае электромагнитной волны масса покоя «объекта» равна нулю, связь между энергией и импульсом будет такой же:

где p и w — плотности импульса и энергии, т. е. величины, отнесенные к единице объема. Умножив числитель и знаменатель правой части равенства (2.26) на c, получим в числителе, согласно (2.22), плотность потока энергии (wc), которая в свою очередь равна модулю вектора Пойнтинга. Таким образом, в векторном виде

Если падающая нормально на поверхность некоторого тела электромагнитная волна полностью поглощается этим телом, то единице площади поверхности тела сообщается за промежуток времени dt импульс, заключенный в цилиндре с площадью сечения, равной единице, и высотой cdt, т. е. dp = (w/c)cdt. Но импульс, сообщаемый единице поверхности в единицу времени, dp/dt, равен давлению p* на поверхность тела. Поэтому для поглощающей поверхности давление p* = w, H/м2. В случае гармонической волны эта величина пульсирует с достаточно большой частотой, и практически представляет интерес лишь ее среднее значение по времени:

Для идеально отражающей поверхности давление будет в два раза больше.

Рассмотрим более детально механизм передачи импульса телу, т. е. как возникает давление. Электрическое поле волны возбуждает в теле ток плотности j = !E, а магнитное поле волны будет действовать на j в соответствии с законом Ампера — с силой, объемная плотность которой равна

откуда следует, что сила направлена в сторону распространения волны.

Надо иметь в виду, что электромагнитная волна оказывает давление не только внутри вещества (при условии, что удельная проводимость ! . 0), но и при отражении от поверхности, так что

где R — коэффициент отражения, т. е. отношение интенсивности отраженной волны к интенсивности падающей.

Давление, вычисленное по формуле (2.28), оказывается в обычных условиях очень малым. Например, солнечный свет оказывает давление порядка 10–5 Па (атмосферное давление − 105 Па). Измерить такое давление экспериментально очень трудно. Впервые это удалось П. Н. Лебедеву (в 1900 г.). Его измерения дали значение, согласующееся с теорией с точностью

до 20%. Позднее эти измерения повторил Герлах (в 1923 г.), достигнув точности до 2%.

Тот факт, что электромагнитное поле обладает импульсом, предписывает при составлении баланса импульсов частиц учитывать и импульс электромагнитного поля. Только при этом с законом сохранения импульса будет все в порядке.

§ 2.6. Эффект Доплера для электромагнитных волн

Рассмотренное в § 1.7 изменение частоты звуковых сигналов, обусловленное эффектом Доплера, определяется скоростями движения источника и приемника относительно среды, являющейся носителем звуковых волн. Для электромагнитных же волн особой среды, которая служила бы их носителем, нет. Поэтому доплеровское смещение частоты электромагнитных волн (сигналов) определяется только скоростью источника относительно приемника.

Пусть в K-системе отсчета находится неподвижный приемник P (рис. 2.5). К нему с релятивистской скоростью v приближается S — источник периодических электромагнитных (или

Промежуток времени между двумя последовательными сигналами (импульсами) в K -системе, связанной с источником, равен T0 1/n0. Поскольку источник движется со скоростью v, то соответствующий промежуток времени в K-системе, согласно «эффекту замедления хода движущихся часов», будет боль-

Поэтому воспринимаемая приемником частота n c5, или

Если источник приближается (как в нашем случае), то n > n0, если же удаляется, то n < n0 (в этом случае знак перед v меняется на противоположный). Полученная формула (2.33) соответствует продольному эффекту Доплера.

Как видно из приведенного вывода, эффект Доплера для электромагнитных волн является следствием двух явлений: замедления хода движущихся часов (корень в числителе последней формулы) и «уплотнения» (или разряжения) импульсов, связанного с изменением расстояния между источником и приемником — это учтено в первом равенстве формулы (2.32).

Рассмотрим и более общий случай: в K-системе источник S движется со скоростью v, составляющей угол с линией наблюдения (рис. 2.6). В этом случае в формуле (2.33) следует за-

Рис. 2.6

менить v на vx vcos , где vx — проекция вектора v на ось X, положительное направление которой взято от S к P. Тогда

В процессе движения источника S проекция скорости vx, вообще говоря, меняется, поэтому необходимо учесть эффект запаздывания. Воспринимаемая приемником P частота n в момент t будет обусловлена сигналами, испущенными источником S в предшествующий момент t t l/c, где l — расстояние от источника S до P в момент t . Поэтому значение vx надо брать в момент t . Итак, частоте n(t) соответствует vx(t ).

56 Глава 2

В отличие от акустического эффекта Доплера, при = 906

при котором воспринимаемая приемником частота оказывается всегда меньше собственной частоты источника: n < n0. Поперечный эффект является прямым следствием замедления хода движущихся часов. Этот эффект значительно слабее продольного: он зависит от v/c не в первой степени, а во второй, т. е. является квадратичным относительно v/c. Поэтому экспериментально его можно наблюдать, проводя измерения перпендикулярно, например, пучку излучающих атомов, имеющему очень малый угол расходимости (чтобы практически исключить продольный эффект).

В нерелятивистском случае, когда v I c, вместо (2.31) можно считать, что Т = Т0, поэтому формула (2.34) не будет содержать

корня 1 2 , и тогда воспринимаемая частота

Отсюда относительное изменение частоты (n – n0)/n0 равно

При vx > 0 (источник приближается) n/n > 0, если же vx < 0 (источник удаляется), то n/n < 0. При vx = 0 и n/n = 0.

Эффект Доплера нашел многочисленные практические применения. С его помощью определяют, например, скорость излучающих атомов в пучке, угловую скорость вращения Солнца. На эффекте Доплера основаны радиолокационные методы измерения скорости самолетов, ракет, автомашин и др. Именно этот эффект позволил открыть двойные звезды (системы, состоящие из двух звезд, движущихся вокруг общего центра масс) — объекты, которые невозможно разрешить даже самыми мощными телескопами. С помощью эффекта Доплера Хаббл (1929 г.) обнаружил явление, названное космологическим красным смещением: линии в спектре излучения внегалактических объектов смещены в сторону бîльших длин волн, т. е. в красноволновую

часть спектра. Оно свидетельствует о том, что внегалактические объекты удаляются от нашей Галактики со скоростями, пропорциональными расстоянию до них.

Рассмотрим в заключение два примера на применение эффекта Доплера. Но предварительно преобразуем формулу (2.37) от частот к длинам волн. Частота n c/ , отсюда малое приращение частоты n (c/ 2 ) . Подставив обе эти формулы в (2.37), получим

где — угол между скоростью v и направлением наблюдения.

Пример 1. Одна из спектральных линий, испускаемых возбужденными ионами Не+ в состоянии покоя, имеет длину волны . Если эту линию наблюдать под углом к пучку данных ионов, то обнаруживается ее доплеровское смещение < 0, причем | 7 I . Определим скорость ионов в пучке.

Так как | 7 I , то это значит, что ионы движутся с нерелятивистской скоростью и справедливо соотношение

c| |

v cos .

Пример 2. При наблюдении спектральной линии = 0,51 мкм в направлениях на противоположные края солнечного диска на его экваторе обнаружили различие в длинах волн на

8 9 пм. Найдем период Т вращения Солнца вокруг собственной оси.

Так как данные края диска движутся при вращении Солнца в противополжных направлениях с одинаковой скоростью v, то доплеровское смещение этой линии будет одинаково по модулю, но противоположно по знаку. Поэтому суммарная разность смещенных длин волн равна удвоенному доплеровскому смещению: