126 |
Глава 4 |
|
|
Однако область дисперсии , т. е. интервал длин волн, в пределах которого не происходит перекрывания спектром другого порядка, очень мала. Например, при b = 5 мм и = 500 нмсоставляет менее 0,03 нм. В этом недостаток данного интерферометра. Но этот интерферометр незаменим при исследовании сверхтонкой структуры спектральных линий.
Задачи
4.1. Зеркало Ллойда. В этой интерференционной схеме интерферируют световая волна 1, исходящая непосредственно из источника S (узкой ярко освещенной щели), и волна 2, отраженная от зеркала З (рис. 4.25). На экране Э образуется система интерференционных полос. Найти длину волны света, если известно, что расстояние от источника до экрана равно l, ширина интерференционной полосы x, а после того, как источник S отодвинули от плоскости зеркала на d, ширина полос уменьшилась в 2 раз.
Р е ш е н и е. Согласно (4.6), расстояние d между источником S и его мнимым изображением S равно d l/ x. После отодвигания источника S это расстояние стало
d 2 d l/( x/2) 2l/ x.
Вычтя первое равенство из второго, получим:
2 x d/l(2 1).
4.2. Интерферометр Рэлея. Его схема показана на рис. 4.26. Здесь S — узкая щель, освещаемая монохроматическим светом с длиной волны , 1 и 2 — две одинаковые трубки с воздухом, длина каждой из которых равна l, торцы — прозрачные, Д — диафрагма с двумя щелями. Когда воздух в трубке 1 постепенно заменили газом Х, то интерференционная картина на экране Э сместилась вверх на N полос. Зная показатель преломления n0 воздуха, определить показатель преломления n газа Х.
Р е ш е н и е. Смещение на N полос означает, что оптическая разность хода лучей, падающих на щели, стала равной N , т. е. ln – ln0 = N . Отсюда n n0 N /l.
Рис. 4.25 |
Рис. 4.26 |
Интерференция света |
127 |
|
|
Смещение полос вверх свидетельствует о том, что и максимум нулевого порядка сместился вверх. При этом увеличение геометрической длины луча 2 компенсируется увеличением оптической длины луча 1.
Интерферометр Рэлея используется для измерения малых разностей показателей преломления прозрачных веществ (газов и жидкостей).
4.3.Интерференция плоских волн. Две одинаковые когерентные плоские световые волны, угол между направлениями распространения которых L 1, падают почти нормально на экран. Показать, что расстояние между соседними максимумами на экране (ширина интерференционной полосы) x / , где — длина волны света.
Р е ш е н и е. Каждая плоская волна имеет вид
EA cos ( t kr ),
иотличаются они друг от друга только векторами k1 и k2, а также дополнительными фазами Ε и .
В точке экрана с радиусом-вектором r разность фаз таких двух волн равна следующему выражению:
k1r k2r + k r + ,
где k = k1– k2. Пусть в этой точке экрана образуется максимум, тогда переход к следующему максимуму будет определяться условием
k r 2 , |
(1) |
где k || r. Заменим эти векторы на их модули: 
k
k (2 / ) и 
r
x. В результате из формулы (1) получим x / . Следует отметить, что приведенный расчет дает возможность найти только ширину x интерференционной полосы, но не порядок интерференции m. Последнее же бывает во многих случаях весьма необходимым.
4.4.Бипризма Френеля. Найти выражения, определяющие условия для ширины s щели и степени монохроматичности / , которые
обеспечивали бы получение интерференционной картины на всей ширине зоны интерференции (в месте расположения экрана), причем с достаточно хорошей видностью. Расстояния от бипризмы Б до щели и экрана равны соответственно a и b, преломляющий угол бипризмы Χ, показатель преломления стекла n.
128 Глава 4
Р е ш е н и е. Для выполнения указанных требований следует, согласно формулам (4.13) и (4.14), обеспечить должные значения длины и ширины когерентности, lког и hког.
Для получения интерференционных полос надо, чтобы hког в месте расположения бипризмы (где волна расчленяется на две части) превышала вдвое расстояние d между лучами, которые затем сходятся вблизи центра интерференционной картины на экране. В этом случае складываемые колебания будут достаточно когерентны для создания интерференционных полос с хорошей видностью. Итак, надо чтобы hког j 2d .
Здесь hког − / /(s/a), s — искомая ширина щели. Расстояние же d найдем с помощью рис. 4.27, откуда следует, что
d /d = b/(a + b),
где d a · 2 , — угол отклонения луча, после прохождения через бипризму — он одинаков для всех лучей: (n – 1)Χ (см. задачу 3.6).
После подстановки выражений для hког получим
a |
j 2 |
|
b |
|
|
a 2 , |
||||
|
|
|
|
|
||||||
b |
a b |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||
s |
i |
|
1 |
|
|
|
. |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
b |
|||||
Теперь второе условие — относительно / . Согласно (4.13), необходимо, чтобы lког j 2 . Здесь lког − 2/ , а — оптическая разность хода, которая должна соответствовать получению максимума наибольшего порядка — на краю зоны интерференции в месте расположения экрана. Пусть полуширина зоны интерференции в этом месте равна xm, тогда с помощью рис. 4.28 из подобия
d |
Б |
|
Э |
|
Э xm |
|
d |
|
|
|
|
||
S |
|
|
S |
|
|
|
S |
|
|
d |
|
O |
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
S |
|
|
|
|
|
a+b |
|
|
|
|
|||
|
|
a |
b |
S |
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.27 |
Рис. 4.28 |
Интерференция света |
129 |
|
|
треугольников получим:
/d xm /(a b),
где d a 2 , xm b (см. рис. 4.11). После подстановки выражений для lког и в исходную формулу получим:
2 |
j |
xmd |
4 |
ab |
|
2 |
, |
|
a b |
a b |
|
откуда
4 2 ab
j a b .
4.5.Интерференция при отражении от тонкой пленки. На поверхности стекла находится тонкая пленка воды. На нее падает свет с длиной волны под углом : к нормали. Найти скорость, с которой уменьшается толщина пленки (из-за испарения), если интенсивность отраженного света меняется так, что промежуток времени между последовательными максимумами отражения равен t.
Ре ш е н и е. Из формулы (4.32) следует, что переход к следующему максимуму происходит при условии m = 1 и b = v t. Отсюда v — искомая скорость:
v 
, 2 t
n2 sin2 :
где n — показатель преломления воды.
4.6.Интерференция от клина. Свет с длиной волны от удаленного точечного источника падает нормально на поверхность стеклянного клина с малым углом раствора. В отраженном свете наблюдают систему интерференционных полос. Расстояние между соседними максимумами на поверхности клина равно x. Найти:
а) угол между гранями клина;
б) длину когерентности, если исчезновение интерференционных полос наблюдается на расстоянии l от вершины клина (l J x).
Р е ш е н и е. а) При переходе к соседнему максимуму оптическая разность хода должна равняться , т. е.
2 x Χn .
Здесь учтено, что угол клина весьма мал. Отсюда
Χ /2n x.
130 |
Глава 4 |
|
|
б) Запишем условие исчезновения интерференционной картины (lког i ), пренебрегая «потерей» полуволны, поскольку в нашем случае l J x. Тогда
lêîã − 2lΧn.
Подставив в эту формулу выражение для Χ из предыдущего пункта, получим:
lêîã − l/ x.
4.7.Кольца Ньютона. Сферическая поверхность плоско-выпуклой линзы соприкасается со стеклянной пластинкой. Пространство между линзой и пластинкой заполнено некоторой прозрачной жидкостью.
Известны показатели преломления линзы n1, данной жидкости n2 и пластинки n3, причем n1 < n2 < n3. Радиус кривизны сферической поверхности линзы равен R. Определить радиус N-го темного
кольца в отраженном свете, длина волны которого .
Р е ш е н и е. При таком соотношении между показателями преломления «потеря» полуволны (это ведь скачок фазы на ) происходит при отражении от обеих поверхностей границы жидкость — стекло, и они «гасят» друг друга. Поэтому условие образования m-го темного кольца выглядит так:
2bn2 (m 1/2) , m 1, 2,...N,...
Кроме того, учтем связь (4.35) между зазором b и радиусом кольца r:
2bR = r2.
Исключив b из этих двух уравнений, получим:
rN 
(N 1/2) R/n2 .
4.8. Плоско-выпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны сферической поверхности R лежит 
на стеклянной пластине, 
причем из-за попадания пы- 
линки между выпуклой по- 
верхностью линзы и пластин- 
кой нет контакта. Диаметры 
N1-го и N2-го темных колец в 
отраженном свете равны со- 
ответственно d1 и d2. Найти
Рис. 4.29 |
длину волны света. |
|
Интерференция света |
131 |
|
|
Р е ш е н и е. Здесь воспользоваться непосредственно формулой (4.36) мы не можем, так как не знаем порядков интерференции колец: они не совпадают с номерами колец. Но разности порядков интерференции равны разности номеров. Этим мы и воспользуемся.
Условие образования темных колец (рис. 4.29), согласно (4.34), запишем как
2 (b b) m ,
кроме того, геометрическая связь между b и r, согласно (4.35),
2bR = r2.
С помощью этих двух равенств находим:
r22 r12 R (2b2 2b1 ) R (m2 m1 ) R (N2 N1 ) #
Отсюда
|
d2 |
d2 |
. |
|
2 |
1 |
|||
|
|
|||
|
4 (N2 |
N1 ) R |
|
4.9.В двухлучевом интерферометре используется некоторая спектральная линия, состоящая из двух близких компонент с длинами
волн Ε = 577 нм и = 579 нм. При каком наименьшем порядке интерференции видность интерференционной картины будет наи-
худшей?
Рис. 4.30
Р е ш е н и е. Изобразим расположение максимумов двух компонент (рис. 4.30). Из рисунка видно, что видность будет наихудшей, когда максимум компоненты окажется посередине между максимумами компоненты Ε. Это будет при условии
m 2 m 1 1/2.
Отсюда
m 1/2( 2 Ε) − 140.
132 |
Глава 4 |
|
|
4.10.Интерферометр Майкельсона. В нем используют желтую линию
натрия, состоящую из двух компонент с длинами волн, равнымиΕ = 589,0 нм и = 589,6 нм. При поступательном перемещении одного из зеркал интерферометра интерференционная картина
периодически исчезала (почему?). Найти перемещение зеркала, при котором последовательно появляются наиболее четкие интерференционные картины.
Р е ш е н и е. Условие перехода от одной четкой картины к следующей:
(m 1) 1 m 2,
где m — некоторое целое число. При этом условии максимумы от Ε и будут накладываться друг на друга.
Соответствующее перемещение b зеркала определяется уравнением
2 b m ,
где под можно понимать как Ε, так и (их различие здесь не существенно: оно слишком мало).
Из этих двух уравнений получим:
b − 2/2 ,
где 2 1.