Взаимодействие света с веществом

Аналитический вид зависимости n( ) в области нормальной дисперсии для не слишком больших интервалов длин волн может быть представлен приближенной формулой

где а и b положительные постоянные, значения которых для каждого вещества определяются из опыта.

Пример. На рис. 7.1 и 7.2 изображены графики зависимости показателя преломления вещества от длины волны n ( ). Изобразим соответствующие графики зависимостей n ( ), где — циклическая частота света.

Поскольку T 1/ , легко проверить, что графики n ( ), соответствующие указанным рисункам, таковы, как показано на рис. 7.3 и 7.4. Причем, в случае графика, приведенного на рис. 7.3, закон дисперсии в соответствии с формулой (7.2) принимает вид

n a b 2,

где постоянная b b/(2 c)2.

§ 7.2. Классическая теория дисперсии

Дисперсию света можно объяснить на основе электромагнитной теории и электронной теории вещества. Строго говоря, движение (точнее — поведение) электронов в атоме подчиняется законам квантовой физики. Однако для качественного понимания дисперсии света достаточно ограничиться классическими представлениями, которые, как это ни удивительно, приводят к тем же результатам, что и квантовая теория.

Итак, поставим перед собой задачу объяснить ход зависимо- сти n( ). Мы знаем, что в изотропной немагнитной среде n . В свою очередь можно найти из соотношения = 1 + k, где k — диэлектрическая восприимчивость, которая является коэффициентом в соотношении P = k 0E, P — поляризованность, т. е. дипольный момент единицы объема. Таким образом,

где Px — проекция вектора P на ось Х, вдоль которой совершаются колебания вектора E.

Известно, что Pх = n0px, где n0 — концентрация диполей, px — поекция дипольного момента отдельного диполя. В дальнейшем мы будем рассматривать простейшую модель вещества, состоящего из не взаимодействующих друг с другом атомов. Каждый атом представляет собой ядро, окруженное быстро движущимися электронами, которые в совокупности как бы «размазаны» по сферической симметричной области вокруг ядра. Поэтому принято говорить, что ядро с зарядом q окружено «электронным облаком» с зарядом –q.

В отсутствие внешнего поля Е центр электронного облака совпадает с ядром, и дипольный момент атома равен нулю. При наличии же внешнего поля Е электронное облако смещается относительно практически неподвижного ядра, и возникает дипольный момент p = ql, где q > 0, а l — вектор, проведенный из центра «облака» к ядру. Проекция вектора p на ось X равна

здесь х — смещение центра «облака» из положения равновесия, т. е. относительно ядра. Заметим, что центр «облака» ведет себя как точечный заряд –q.

С учетом (7.4) выражение (7.3) можно представить так:

Как видно, задача сводится к определению х(t) под действием Ex(t).

232 Глава 7

Для этого запишем уравнение движения электронного обла-

где m — масса электронного облака, а справа записаны проекции на ось Х квазиупругой силы, силы «сопротивления», обусловленной чем-то вроде «трения» облака о ядро, и вынуждающей силы со стороны гармонической электромагнитной волны частоты . Магнитной составляющей этой силы мы пренебрегаем, поскольку в нерелятивистском случае она ничтожно мала.

Разделив уравнение (7.6) на m, приведем его к виду

Для теории дисперсии имеет значение не общее, а только ча-

где а — амплитуда колебаний, — разность фаз между смещением х и «силой» fm cos t. Подстановка этого решения в уравнение (7.7) позволяет с помощью векторной диаграммы найти значения амплитуды а и разности фаз , а именно

(решение уравнения (7.7) подробно рассматривается в теории колебаний).

Ограничимся простейшим случаем, когда 2 I ( 20 2 ), т. е. когда вынуждающая частота (поля) не очень близка к собственной частоте 9 колебаний электронного облака и коэффициент , характеризующий затухание, достаточно мал. В этом случае, если 1 0 , то

Такой же результат будет и при 0 0 , когда .

(здесь учтено, что q = Ze, m = Zme и N0 = Zn0, Z — число электронов в атоме).

шо подтверждается экспериментально

характеризует полосу поглощения. Как раз с ней совпадает область аномальной дисперсии (dn/d < 0).

Заметим, что собственных частот 0i может быть несколько в атоме, соответственно будет и несколько областей аномальной дисперсии. Кроме того, как видно из рис. 7.5, при 0 0 показатель преломления (n ) будет меньше единицы, а это значит, что фазовая скорость электромагнитной волны v = c/n оказывается больше с! Подобное имеет место в плазме, где 9 = 0 (электроны свободные), и для рентгеновского излучения ( J 0). Никакого противоречия с теорией относительности здесь нет. Последняя утверждает, что скорость сигнала (импульса) не может превышать с. Понятие же показателя преломления применимо к монохроматическим электромагнитным волнам, бесконечным в пространстве и во времени. Такие волны не могут служить для передачи сигнала, а кроме того, их в принципе невозможно осуществить.

Из выражения (7.11) вытекает и еще одно неожиданное следствие для случая, когда 0 = 0 (например, в той же плазме). При этом условии, когда частота электромагнитной волныi b, оказывается, что диэлектрическая проницаемость( ) i 0, а следовательно, показатель преломления для таких частот (n ) становится мнимым, и его можно представить как n ik. Выясним, что это означает.

Запишем уравнение электромагнитной волны в комплексной форме:

e i(kx t) ,

E E0

где k 2 / , — длина волны в среде. Если длина волны в вакууме 0, то 0/n, и

2

k 0 n k 0 ik,

Видно, что в рассматриваемом случае мы имеем стоячую волну, амплитуда которой экспоненциально затухает*. Фактически это означает, что излучение при < 0 не может пройти через плазму и происходит полное отражение его в пограничном слое. На этом, кстати, основан метод определения концентрации электронов в плазме.

Пример. При зондировании разреженной плазмы радиоволнами различных частот обнаружили, что радиоволны с частотами, меньшими, чем 0 = 400 МГц не проходят через плазму. Найдем концентрацию свободных электронов в этой плазме.

Радиоволны не проходят через плазму, а отражаются от нее, как мы выяснили, при мнимом показателе преломления, т. е. при значении диэлектрической проницаемости i 0. Имея в виду (7.11) и учитывая, что для свободных электронов 0 = 0, получим:

* В общем случае вводят комплексный показатель преломления i , где n n n k

определяет фазовую скорость волны v = c/n, а мнимую часть k называют показателем затухания. Он характеризует затухание волны по мере ее распро-

странения. Затухание не обязательно связано с поглощением электромагнитной волны, примером тому служит разобранный пример.