страняющейся в произвольном направлении, как было отмечено на с. 11 под формулой (1.12 ), фазовая скорость в направлении оси X равна v/cos . Тогда волновые уравнения вдоль осей X, Y, Z будут иметь следующий вид

где , , — углы между волновым вектором k и осями координат. Сложив отдельно левые и правые части этих уравнений и учитывая, что

cos2 + cos2 + cos2 1,

мы и приходим к уравнению (1.23), где, напомним, v /k. Отметим, что выражения для сферических и цилиндрических волн

также являются решением волнового уравнения (1.23), надо только

2

вторые производные по координатам, т. е. D — оператор Лапласа — записать в соответствующей системе координат (сферической или цилиндрической).

Волновые уравнения (1.21) и (1.23) играют весьма важную роль в теории волновых процессов. Если мы, исходя из законов механики при изучении некоторого явления, придем, например, к уравнению вида (1.23), то сразу можно утверждать, что имеем дело с волновым процессом, скорость распространения v которого легко найти из сопоставления полученного уравнения с (1.23). В дальнейшем мы этим и воспользуемся.

§ 1.3. Скорость упругих волн

Скорость волны в тонком стержне. Под тонким имеется в виду стержень, толщина которого мала по сравнению с длиной волны . При малых продольных деформациях стержня справедлив закон Гука:

где ! — напряжение (Н/м2), Е — модуль Юнга (Па), = / x. Заметим, что !, как и , величина алгебраическая, и знаки ! ивсегда одинаковы: при растяжении — положительные, при сжатии — отрицательные.

Рис. 1.4

Рассмотрим малый элемент стержня x I в момент, когда при прохождении волны он оказался, например, в растянутом состоянии (рис. 1.4). Применим к этому элементу 2-й закон Ньютона:

где — плотность материала стержня, S — площадь его поперечного сечения. В данный момент, как видно из рисунка, Fx(x + x) > 0, а Fx(x) < 0. Соответствующие же значения ! в сечениях х и х + х положительные (растяжение!). Поэтому правую часть уравнения можно переписать так:

!

Fx (x x) Fx (x) S!(x x) S!(x) S x, x

где учтено, что слева Fx и ! имеют разные знаки (это будет и при сжатии). Тогда##уравнение движения после сокращения наx S примет вид !/ x. Остается учесть (1.24), после чего получим окончательно:

Мы пришли, таким образом, к волновому уравнению. Это позволяет утверждать, что в стержне будет распространяться продольная волна, скорость v которой легко определить, сопоставив полученное выражение с (1.23):

Заметим, что для не тонкого стержня выражение для v имеет более сложный вид и значение v оказывается больше, чем в случае тонкого стержня.

Можно показать, что скорость поперечных упругих волн в неограниченной изотропной твердой среде

где G — модуль сдвига среды, — ее плотность.

18 Глава 1

2

1

F

Рис. 1.5

Скорость волны в гибком шнуре. Найдем уравнение малых поперечных колебаний натянутого шнура, исходя из основного уравнения динамики. На малый элемент 12 шнура (рис. 1.5) слева действует сила натяжения F. Ее вертикальная проекция F (x) F sin . При малых смещениях sin = tg = / x, и мы можем записать

F (x) = –F / x.

Аналогичное выражение для проекции силы (только со знаком «+») можно записать и для правого конца элемента 12. Результирующая этих двух проекций сил

Пренебрегая изменением силы F вдоль шнура (это справедливо для малых смещений при колебаниях), правую часть предыдущего выражения можно переписать так: F( 2 / x2)dx. Если ли-

Из сравнения с (1.23) находим выражение для скорости волны в шнуре:

Скорость звука в жидкостях и газах. Формулу (1.26) можно использовать для вычисления скорости продольных волн в жидкостях и газах. Действительно, вырезав мысленно канал в на-