§ 2.7. Излучение диполя

ческая волна с той же частотой, что и у осциллятора. Амплитуда волны (это доказывается в электродинамике) уменьшается с ростом расстояния r от диполя как

где : — угол между осью диполя и ради-

усом-вектором r точки, где наблюдается поле (рис. 2.7). Из этого рисунка видно,

что вектор E в каждой точке волновой зоны направлен по касательной к меридиану, а вектор Н — по касательной к параллели, причем так, что в каждый момент векторы E и Н составляют правую

тройку с вектором Пойнтинга П = [EH].

Факт существования электромагнитного поля, амплитуда которого убывает с расстоянием как 1/r, — поля излучения — весьма важен. Наличие именно такого поля позволяет осуществлять передачи на большие расстояния, видеть звезды.

Интенсивность электромагнитной волны, т. е. среднее значение плотности потока энергии П , пропорционально произведению ЕmHm, значит, согласно (2.39),

Как показывает теория, мощность излучения Р диполя, т. е. энергия, излучаемая в единицу времени по всем направлениям,

Р е ш е н и е. Искомый вектор H Hm cos t, где Нm можно найти из условия, что векторы Еm, Нm и k составляют правую тройку, откуда Hm;;[kEm]. Кроме того, 0Em 40 Hm . Поэтому Hm = HmeH, где еH — орт вектора Нm, равный [kEm]/kEm, и, следовательно, Hm 0/40 Em <kEm =/kEm . В результате получим:

k 40 [kEm ] cos t.

2.2.Вектор Пойнтинга. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна, амплитуда электрической составляющей кото-

рой равна Еm. Найти среднюю за период колебаний плотность потока энергии.

Ре ш е н и е. Модуль вектора Пойнтинга, П = EH, с учетом (2.14) примет вид П 0/40 Em2 cos2 t. Отсюда

pÏq 0/40 Em2 /2,

где принято во внимание, что pcos2 tq = 1/2.

2.3.В вакууме вдоль оси Х распространяются две плоские электромаг-

нитные волны, электрические составляющие которых изменяются по закону E1 E0cos( t kx) и E2 E0cos( t kx ). Найти среднее значение плотности потока энергии.

где учтено, что pcos2 tq = 1/2.

2.4.В вакууме распространяются две плоские электромагнитные волны, одна — вдоль оси Х, другая — вдоль оси Y:

E1 E0 cos ( t kx), E2 E0 cos ( t ky),

где вектор Е0 направлен параллельно оси Z. Найти среднее значение плотности потока энергии в точках плоскости y = x.

Р е ш е н и е. В плоскости y = x векторы Е1 и Е2 будут колебаться в фазе с амплитудой Еm = 2Е0. Векторы же H1 и H2 — тоже в фазе, но под углом /2 друг к другу, поэтому амплитуда результи- рующего вектора Hm 2H0, где H0 связано с Е0 соотношением 40 H0 0E0. Поэтому среднее значение плотности потока энергии в плоскости y = x равно

pÏq >2E0 H02? 2 0/40 E02,

где учтено, что pcos2 tq = 1/2.

2.5.Стоячая волна. Пусть электрическая составляющая стоячей электромагнитной волны имеет вид Ey Em coskx cos t. Найти с помощью уравнений (2.12) выражение для магнитной составляющей этой волны Hz(x,t).

Р е ш е н и е. Согласно второму уравнению (2.12),

Hz/ x 0 Ey/ t 0 Em cos kx sin t.

Проинтегрировав это выражение по x, получим:

Hz 0cEm sin kx sin t const,

где c /k 1/ 0 40 . Нас интересует только переменное поле, поэтому const = 0. Учитывая связь (2.19) между амплитудами Еm и Hm, найдем:

Hz Hm sin kx sin t,

т. е. Hz имеет вид тоже стоячей волны, но сдвинутой в пространстве (по х) на четверть волны и по времени — на четверть периода.

2.6.Эффект Доплера. Радиолокатор работает на частоте n0. Найти скорость v приближающегося самолета, если частота биений между сигналами передатчика и отраженными от самолета равна n (в месте расположения локатора).

Р е ш е н и е. Здесь мы имеем дело с нерелятивистским эффектом Доплера. Частота сигналов, воспринимаемая самолетом как приемником, к которому приближается локатор, согласно (2.36), равна

n n0/(1 v/c) n0 (1 v/c),

64 Глава 2

поскольку vх = v. Сигналы такой же частоты n самолет и отражает

— уже как движущийся источник. Поэтому приемник локатора принимает сигналы с частотой

n n(1 v/c) n0 (1 v/c)2 − n0 (1 2v/c).

Частота биений n n n0 2n0v/c. Отсюда v c n5 n0.

2.7.С какой скоростью должна была бы двигаться автомашина, чтобы

красный свет светофора, 0 − 0,70 мкм, воспринимался как зеленый, − 0,55 мкм (анекдот о Вуде)?

Р е ш е н и е. Согласно (2.34), n n0(1 )/(1 ), = v/c.

Отсюда

В результате находим v c − 7 104 км/с!

2.8.Эффект запаздывания. Источник S, испускающий электромаг-

нитные сигналы с частотой n0, движется с релятивистской скоростью v по прямой, отстоящей на некоторое расстояние от непо-

движного наблюдателя P (рис. 2.10). Найти частоту сигналов, воспринимаемых наблюдателем в момент, когда:

а) источник окажется в точке O;

б) наблюдатель увидит его в точке O.

Р е ш е н и е. а) В этот момент в точку P должны прийти сигналы,

б) В этом случае будет наблюдаться чисто поперечный эффект Доплера: n n01 2.

2.9.Излучение диполя. Электромагнитная волна, излучаемая диполем, распространяется в вакууме так, что в волновой зоне на луче, перпендикулярном оси диполя, на расстоянии r от него ин-

тенсивность равна I0. Найти среднюю мощность P излучения диполя.

По виду данной формулы может показаться, что P зависит от r. Но это не так, поскольку I0 T 1/r2.

2.10.Постоянный по модулю электрический диполь p вращают с постоянной угловой скоростью w вокруг оси, перпендикулярной оси диполя и проходящей через его середину. Найти мощность излучения такого диполя.

Р е ш е н и е. Согласно (2.41), вопрос сводится к определению второй производной вектора p по времени. За время dt модуль приращения вектора p равен |dp| = p dt, значит dp = [wp]dt и p. [wp]. Из последнего равенства видно, что при вращении по.- стоянного по модулю вектора p его производная по времени p определяется как векторное произведение w на вектор p. Это

| p | p. После подстановки этого выражения в (2.41) получим

P (40/6 c) p2 4.