Это выражение можно преобразовать к более удобному для расчетов виду, если учесть уравнение состояния идеального газа pV = (m/M)RT, где, напомним, m — масса газа, М — его молярная масса. Из уравнения состояния определим плотность как= m/V = pM/RT, и уравнение (1.37) станет таким:

где R — универсальная газовая постоянная.

§ 1.4. Энергия упругой волны

Плотность энергии упругой волны. Прежде всего найдем выражение для плотности упругой (потенциальной) энергии растянутого (или сжатого) стержня. Приложим к торцу стержня, другой конец которого закреплен, растягивающую силу F(x) и будем медленно увеличивать ее от 0 до значения F0. Удлинение стержня при этом будет меняться от 0 до х. По закону Гука F(х) = kх, где k — коэффициент упругости. Работа силы F(x) в этом процессе

Эта работа идет на увеличение упругой энергии U стержня, значит

Плотность же упругой энергии wп = U/Sl, где S и l — площадь поперечного сечения и длина стержня. Преобразуем выражение (1.39), учитывая, что kx = F = !S, ! = E и = x/l, тогда

U Fx !S l E 2 Sl.

22 Глава 1

Среднее значение плотности энергии за период (или за время

поскольку среднее значение квадрата синуса равно 1/2.

В заключение отметим, что полученные выражения справедливы и для упругих волн в жидкостях и газах.

Плотность потока энергии. Так как энергия перемещается в среде вместе с возмущением, вводят понятие потока энер - гии . Это количество энергии, переносимое волной через определенную поверхность S в единицу времени:

где dW — энергия, переносимая через данную поверхность за время dt.

Поток энергии в разных точках поверхности S может иметь различную интенсивность. Для характеристики этого обстоятельства вводят понятие плотности потока энергии. Это поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную к направлению переноса энергии:

где d = dW/dt, а dW — это энергия, заключенная внутри косого цилиндра (рис. 1.7) с основанием площадью dS и образующей длиной

v dt, где v — скорость переноса энер-

гии (возмущения). Размеры этого ци-

линдра должны быть настолько малы,

чтобы во всех его точках плотность энергии w была бы одинаковой. Тогда dW = w dV, dV — объем данного ци-

Рис. 1.7

линдра, и мы можем записать:

dW = wv dt dS cos wv dt dS+ .

С учетом этого соотношения выражение (1.47) примет вид:

Для определения плотности потока и его направления вводят

вектор Умова j:

где v — вектор скорости, нормальный к волновой поверхности

вданном месте*. Для гармонической волны v = ( /k)n.

Вслучае монохроматической волны вектор j, как и плотность энергии, изменяeтся со временем по закону квадрата синуса (1.44). Поэтому среднее по времени значение вектора Умова с учетом (1.45) можно записать как

Это выражение справедливо для волн любого вида — плоской, сферической, цилиндрической, затухающих и др.

Среднее по времени значение плотности потока энергии называют интенсивностью волны: I pjq.

Для монохроматической волны

где, напомним, a — амплитуда волны (например, для сферической волны с затуханием a (a0/r)e– r ).

Зная вектор Умова во всех точках интересующей нас поверхности S, можно найти поток энергии сквозь эту поверхность. Для этого разобьем мысленно поверхность S на элементарные участки dS. Поток энергии через этот участок, согласно (1.47), есть

d jdS+ jdS cos jdS jn dS,

где jn — проекция вектора j на нормаль n к элементу поверхности dS (см. рис. 1.7). Тогда полный поток энергии сквозь поверхность S

здесь dS ndS. Выражение (1.51) означает, что поток энергии равен потоку вектора j сквозь эту поверхность S.

*Здесь vx = ( /k)cos , — угол между вектором j и ортом i оси X. Это не фазовая скорость вдоль оси X.

Пример. Убедимся, что амплитуда a сферической волны действительно пропорциональна 1/r.

Для этого найдем среднее значение потока энергии сквозь волновую поверхность радиуса r. Поскольку во всех точках этой поверхности pjq одинаково, то определение среднего потока сводится просто к умножению pjq на площадь сферы:

p q pjq4 r 2 T ar2r 2.

Если энергия волны не поглощается средой, то pФq не должно зависеть от r, а значит ar2r2 const. Отсюда и следует, что ar T1/r.

Необходимо отметить, что полученное выражение (1.49) справедливо только для бегущей волны. Если же мы имеем дело с более сложным образованием — суперпозицией (наложением) нескольких продольных волн, выражению для вектора Умова (1.49) следует придать другой вид:

где ! — напряжение (или избыточное давление), u — скорость частиц среды (не скорость волны!). Это выражение справедливо для жидких и газообразных сред, для твердых же сред, строго говоря, — только в случае тонкого стержня или тонкой пластины.

Выражение (1.52) можно получить так. Пусть возмущение распространяется, например, в положительном направлении оси

Выражение в последних скобках, согласно (1.19), равно – / x (для волны, распространяющейся в положительном направлении оси Х).

Значит

откуда и следует (1.52).