48 |
Глава 2 |
|
|
Изобразив рисунок, аналогичный рис. 1.1, найдем, что искомая скорость v = c/cos = 2c! Полученный результат не противоречит теории относительности: фазовая скорость может быть любой, в отличие от скорости сигнала, которая не может быть больше с — скорости света в вакууме.
Теперь рассмотрим пример, который относится к формуле (2.14) — тоже на связь амплитуд электрической и магнитной составляющих волны, но не в скалярном, а в векторном виде.
Пример. В вакууме распространяется гармоническая плоская электромагнитная волна, электрическая составляющая которой имеет вид
E = ezEmcos ( t – kr).
Найдем вектор-амплитуду магнитной составляющей этой волны, Нm.
Видно, что данная волна распространяется в направлении вектора k. Значит, три вектора, Еm, Hm, k должны составлять правовинтовую систему (см. рис. 2.1). Отсюда следует, что вектор Нm должен быть сонаправлен с вектором [kE], направление которого совпадает с ортом [nkez ], где орт nk=k/k. Остается найти модуль вектора Нm, т. е. воспользоваться формулой (2.14): Hm 
0/40 Em . В результате получим:
Hm [nkez ] 
0/40 Em.
§2.3. Стоячая электромагнитная волна
В§ 1.5 было показано, что стоячую упругую волну можно представить как результат суперпозиции двух одинаковых волн, бегущих навстречу друг другу. Это относится и к электромагнитным волнам. Однако надо учесть, что электромагнитная волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаимно ортогональными векторами Е и Н.
Пусть волна распространяется в положительном направлении оси Х и описывается уравнениями
Ey Em cos ( t kx), Hz Hm cos ( t kx). (2.16)
Электромагнитные волны |
49 |
|
|
Рис. 2.3
Уравнения волны, распространяющейся в обратном направлении, можно получить из (2.16), если заменить в скобках минусы на плюсы и учесть, что векторы Е, Н, k должны составлять правую тройку. Это поясняет рис. 2.3, где слева (а) Е и Н меняются в фазе — волна (2.16), а справа Е и Н — в противофазе (во встречной волне). Последнее означает, что перед Еm или Hm должен появиться знак минус. Итак, уравнения встречной волны будут иметь вид:
Ey Em cos ( t kx), Hz Hm cos ( t kx). (2.17)
В результате суперпозиции этих двух встречных волн, (2.16) и (2.17), получим:
Ey 2Em cos kx cos t, Hz 2Hm sinkx sin t. (2.18)
Это и есть уравнения стоячей электромагнитной волны. Они состоят из двух стоячих волн — электрической и магнитной. Видно, что в этой волне колебания векторов Е и Н сдвинуты по фазе на /2 как в пространстве, так и во времени. Если в некоторый момент Еу во всех точках имело максимальное значение и при этом Hz = 0, то через четверть периода картина будет обратной: Hz достигнет всюду максимальных значений со сдвигом в пространстве на /4, а Еу обратится в нуль. Таким образом, в процессе колебаний электрическое поле постепенно переходит в магнитное, магнитное — в электрическое и т. д. (рис. 2.4). Поскольку колебания векторов Е и Н происхо-
50 |
Глава 2 |
|
|
Рис. 2.4
дят не в фазе, соотношение (2.14) оказыватеся справедливым только для амплитудных значений Em и Hm стоячей волны:
Em |
0 |
Hm |
440 |
. |
(2.19) |
§2.4. Энергия электромагнитной волны
Сэлектромагнитной волной связан перенос энергии. Плотность потока энергии можно найти с помощью формулы (1.48)
как произведение плотности энергии w на скорость волны v. В обычной изотропной среде с проницаемостями и 4 плот-
ность энергии электромагнитного поля равна сумме плотностей энергии электрического и магнитного полей:
|
|
0 E2 |
44 0 H2 |
|
||
w |
|
|
|
|
. |
(2.20) |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
||
В данной среде справедливо соотношение (2.14) между Е и Н, а это означает, что плотность электрической энергии в бегущей волне равна плотности магнитной энергии. Поэтому (2.20) можно записать так:
w 0 E2 |
044 0 |
EH EH/v, |
(2.21) |
где v — скорость волны, (2.7 ).
Умножив w на v, получим плотность потока энергии:
Ï wv EH. |
(2.22) |
Электромагнитные волны |
51 |
|
|
Векторы Е и Н взаимно ортогональны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. Значит, направление вектора [EH] совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен ЕН. Поэтому вектор плотности потока электромагнитной энергии П можно представить как
Ï = [EH]. |
(2.23) |
|
|
Вектор П называют вектором Пойнтинга.
В случае бегущей гармонической электромагнитной волны (2.15) плотность энергии, согласно (2.21), равна
w 0 Em2 cos2( t kx).
Плотность же потока энергии, как следует из (2.22),
Ï wv |
|
0 |
/44 |
0 |
E2 |
cos2 ( t kx), |
(2.24) |
|
|
|
m |
|
|
где учтено, что скорость v определяется формулой (2.7 ). Интенсивность I такой волны равна, по определению, сред-
нему значению плотности потока энергии: I pПq. Принимая во внимание, что при усреднении (2.24) среднее значение квадрата косинуса равно 1/2, получим
I |
|
0 |
/44 |
0 |
E2 /2. |
(2.25) |
|
|
|
m |
Обратим внимание, что I пропорционально квадрату амплитуды, I T E2m .
Пример. В вакууме распространяется плоская гармоническая линейно поляризованная электромагнитная волна частоты . Интенсивность волны равна I. Найдем амплитудное значение плотности тока смещения в этой волне.
По определению, плотность тока смещения jсм D/ t, где D 0E. Пусть E Emcos( t kx), тогда амплитудное значение
плотности тока смещения jсм макс 0 Em. Остается найти Еm. Это делается с помощью формулы (2.25):
Em 
2I
40/ 0 ,