Доказательство. От противного. Т.к. ограничено, то [ ; ] : [ ; ]. Пусть у множества нет предельных точек [ ; ] U( ), содержащая не более чем конечное число элементов множества . Почему эти два высказывания эквиваленты? Действительно, допустим, что у ограниченного множества есть предельная точка : / [ ; ]. Пусть < , тогда для окрестности ( ; ) критерий предельной точки не выполняется — там нет элементов множества .

Для каждой точки [ ; ] выберем U( ), не дающую точке стать предельной. Объединение

только конечное число элементов (мы так выбирали окрестности), а всего таких окрестностей конечное число, а значит, всего элементов в — конечное число, что противоречит условию. [:|||||:]

Назовем изолированной, если у этой точки существует окрестность без других точек множества , т.е. ∩ U′( ) = ?. Ясно, что изолированная точка не может быть предельной, равно как и любая точка, не являющаяся предельной, — изолированная.

Часть 9

Предел функции

1Определения

Рассмотрим множество E R и число R — предельную точку множества E (при этом необязательно принадлежит E). Пусть задана функция : E →R. Такие функции (множество значений которых лежит в R) называют действительнозначными.

1.1 Предел функции в точке по Коши

lim ( ) = > 0 ( ) > 0 : E, 0 < | − | < | ( ) − | < .

E →

V ( ) U′ ( ) : (U′ ( ) ∩ E) V ( ).

Это определение сравнительно легко представить: мы ищем предел функции в некоторой точке. Определение по Коши говорит о том, что функция принимает сколь угодно близкие к своему пределу значения в какой-то окрестности точки .

Однако, это определение не очень хорошо описывает случай, когда → ∞. Поэтому слегка изменим его для этого случая:

lim ( ) = > 0 0 : E, | | > 0 | ( ) − | < .

→∞

1.2 Предел функции в точке по Гейне

30