3. |
|
= ( , ) = · . Тогда = |
∂ |
+ |
∂ |
= + . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∂ |
∂ |
|
|
− . |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
4. |
|
= ( , ) = |
. Аналогично, |
= |
∂ |
+ |
∂ |
= |
1 |
− |
|
= |
|||||
|
|||||||||||||||||
|
∂ |
∂ |
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||||
Заметим, что в силу инвариантности формы первого дифференциала все эти формулы справедливы и в случае, когда , зависят от каких-либо переменных. [:|||||:]
Часть 28
Частные производные и дифференциалы высших порядков
1Смешанные производные
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂ |
||
Пусть |
(¯) имеет производную |
|
|
(¯), дифференцируя которую по , получим |
|
|
|
|
|
. |
||||
|
∂ |
∂ |
|
|
∂ |
|
||||||||
Введем теперь некоторые определения |
и обозначения. |
|
|
( |
) |
|||||||||
Если ̸= , то частная производная |
∂ |
∂ |
называется смешанной производной функ- |
|||||||||||
∂ |
|
∂ |
||||||||||||
ции |
по переменным и . |
Обозначать смешанную производную принято так: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||
∂2 или ′′ .
∂ ∂
Будем использовать такой порядок переменных в этом обозначении, в каком производится взятие производных.
(
Если = , то производная ∂∂
по . Обозначение такое же:
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
) |
называется второй частной производной функции |
||||
∂ |
||||||
|
|
|
∂2 |
или ′′ |
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∂ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 |
|
∂2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вообще говоря, |
|
̸= |
|
. В качестве примера рассмотрим функцию |
||||||||||
∂ ∂ |
∂ ∂ |
|||||||||||||
|
|
|
( , ) = |
{0, |
|
|
если 2 |
+ 2 |
= 0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
, |
|
если |
2 |
+ |
2 |
> 0, |
|
|
|
|
|
|
|
2+ 2 |
|
|
|
|||||
Сначала найдем частные производные: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
∂ |
= |
( 4 + 3 2 2) |
, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
∂ |
|
( |
2 |
2 2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ) |
|
|
|
|
||
∂3( 2 − 2)
∂= ( 2 + 2)2 .
По определению производной:
∂ |
(0, 0) = lim |
( , 0) − (0, 0) |
= 0 = |
∂ |
(0, 0). |
|
∂ |
|
∂ |
||||
→0 |
|
|
80
Теперь снова по определению посчитаем вторые частные производные:
∂2 |
|
(0, 0) |
= lim |
′ |
(0, ) − ′ (0, 0) |
= 0, |
|||
∂ ∂ |
|
|
|||||||
|
→0 |
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
′ |
( , 0) |
− |
′ |
(0, 0) |
|
∂ |
(0, 0) |
= lim |
|
|
|
|
= 1. |
||
∂ ∂ |
|
|
|
|
|
||||
|
→0 |
|
|
|
|
||||
Получили разные результаты. Заметим, что следующее рассуждение неверно!
∂ ∂ |
= |
∂ |
|
|
3( 2 + 2) − 3 · 2 |
|
= |
∂ |
|
|
5 − 3 2 |
= |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∂ (∂ ) |
∂ |
( |
|
|
) |
∂ ( |
( 2 + 2)2 ) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
( 2 + 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
(5 4 − 3 2 2)( 2 + 2)2 − ( 5 − 3 2) · 2( 2 + 2) · 2 |
= |
6 + 6 4 2 − 3 2 4 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 + 2)4 |
|
|
|
( 2 + 2)3 |
|||||||
И в другом порядке: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∂ ∂ |
|
∂ |
|
|
3 2 ( 2 + 2) |
3 |
|
2 |
|
|
∂ |
|
4 + 3 2 3 |
|
|
|
|
|||||||
|
( |
|
) |
= |
|
( |
|
− |
· |
|
|
) = |
|
|
( |
|
) = |
|
|
|
||||
∂ |
∂ |
∂ |
|
( 2 + 2)2 |
|
|
|
∂ |
( 2 + 2)2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
( 4 + 9 2 2)( 2 + 2)2 − ( 4 + 3 2 3) · 2( 2 + 2) · 2 |
= |
6 + 6 4 2 − 3 2 4 |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 + 2)4 |
|
|
|
|
|
( 2 + 2)3 |
|||||
Это неверно, т.к. предоставленные выражения справедливы только при 2 + 2 > 0, что в нашем случае не так, поэтому данные производные необходимо вычислять по определению!
2Теорема о совпадении смешанных производных для функций переменных
Теорема 28.1 (Теорема Шварца). Если функция (¯) имеет в точке (0) непрерывные сме-
шанные производные |
∂2 |
|
( (0)) |
и |
|
∂2 |
|
( (0)), то данные производные равны. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂ ∂ |
|
|
∂ ∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Доказательство. Определим оператор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
( (¯)) = ( 1(0), 2(0), . . . , (0) |
+ |
, . . . , (0)) − ( 1(0), . . . , (0)). |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Очевидно, что этот оператор линеен. Аналогичным образом зададим оператор |
( (¯)). Для |
|||||||||||||||||||||||||
удобства опустим индекс (0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(Δ ( (¯))) = |
( ( 1, . . . , + |
, . . . , ) − ( 1, . . . , )) = |
, . . . , , . . . , )− |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= ( 1, . . . , + |
, . . . , + |
|
|
, . . . , ) − ( 1, . . . , + |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ( 1, . . . , , . . . , + |
, . . . , ) + ( 1, . . . , ). |
|||||||||
Теперь, поменяв местами |
2 и 3 |
слагаемое, |
получаем |
(Δ ( (¯))), |
т.е. |
(Δ ( (¯))) |
= |
|||||||||||||||||||
(Δ ( (¯))). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Применяя теорему Лагранжа по переменным и соответственно, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(∂ ( 1, . . . , + Θ1 |
, . . . , )Δ ) = |
|
(∂ ( 1, . . . , + Θ2 |
, . . . , )Δ ), |
|
|||||||||||||||||||||
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 |
|
( 1, . . . , + Θ1 |
|
, . . . , + Θ3 |
, . . . , )Δ |
= |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∂ ∂ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
∂ |
2 |
|
( 1, . . . , + Θ4 |
, . . . , + Θ2 |
, . . . , )Δ |
. |
(1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ ∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
81
Переход ко второму равенству также сделан по теореме Лагранжа. Помним, что 0 |
< |
|||
Θ1, Θ2, Θ3, Θ4 < 1. Теперь сокращаем (1) на |
и переходим к пределу при |
→ 0, |
|
→ |
0. Используя непрерывность производных, получаем требуемое. |
|
[:|||||:] |
||
Теорема 28.2 (Обобщение теоремы Шварца). Пусть (¯) имеет в точке 0 непрерывные частные производные -ого порядка, а в некоторой окрестности точки 0 непрерывны все ее производные низших порядков. Тогда частные производные -ого порядка, отличающиеся исключительно порядком дифференцирования, совпадают в данной точке.
Доказательство. Из необходимых условий дифференцирования следует, что все частные производные ( − 1)-ого порядка функции (¯) являются непрерывными. Используя метод математической индукции, можно доказать, что все производные функции до порядка включительно непрерывны.
Теперь достаточно доказать, что
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
. |
||
∂ 1 . . . ∂ ∂ +1 . . . ∂ |
|
∂ 1 . . . ∂ +1 ∂ . . . ∂ |
|||||||||||||||||
Для этого рассмотрим функцию |
|
∂ −1 |
. Для нее выполнены все условия теоремы Шварца, |
||||||||||||||||
∂ |
|
...∂ |
|||||||||||||||||
значит |
|
1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂ +1 ( 0) |
|
|
|
|
∂ +1 ( 0) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
∂ 1 |
. . . ∂ |
−1 |
∂ |
∂ |
+1 |
∂ 1 |
. . . ∂ |
−1 |
∂ |
+1 |
∂ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теперь осталось лишь продифференцировать полученное − − 1 раз, после чего и получим доказываемое. [:|||||:]
3Второй дифференциал ФНП
Будем рассматривать функцию (¯): U ( 0) →R (от переменных).
Первым полным дифференциалом данной функции в точке 0 называется выражение:
( 0) = |
∂ ( 0) |
1 + · · · + |
∂ ( 0) |
. |
∂ 1 |
∂ |
Если (¯) в свою очередь тоже дифференцируема, то можно рассмотреть дифференциал
( (¯)) = |
|
|
∂ |
) |
= |
( |
|
∂ ∂ ). |
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂2 |
|||
|
=1 |
( |
=1 |
|
=1 |
|
|
||
|
∑ |
|
|
|
∑ |
|
∑ |
|
|
Заметим, что используемое обозначение призвано подчеркнуть, что дифференциал задается приращениями по каждой переменной, поэтому следует использовать именно его. Однако если = (а мы чаще всего и имеем дело со случаем, когда все переменные независимы, и поэтому = ), то ( ) обозначается как 2 , т.е.
|
|
∂2 |
|
|
2 = ( )| = = |
∑, |
. |
||
∂ ∂ |
||||
=1 |
||||
|
|
|
Эту формулу удобнее записывать, введя формальный символ:
|
|
∂ |
|
∂ |
+ · · · + |
|
∂ |
|
|
|
||||||||
= |
|
|
|
1 |
+ |
|
|
2 |
|
|
|
|
, |
|
||||
|
∂ 1 |
∂ 2 |
∂ |
|
||||||||||||||
2 = |
(∂ 1 1 + ∂ 2 2 + · · · + ∂ ) |
2 |
||||||||||||||||
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
∂ |
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|||
82