Чтобы это понять, построим биективное отображение множества двоичных последователь-

ностей на множество (0, 1). Пусть имеем последовательность = 1 2 3 . . . . Поставим в

соответствие сумму ( ) = ∑ · 2− . Тем самым мы фактически интерпретируем последова-

=1

тельность как некоторое число из интервала (0, 1) в системе счисления по основанию 2.

Часть 2

Ограниченные и неограниченные множества

1Ограниченные множества

Множество R ограничено сверху (снизу), если ( ) R : , 6 ( 6 ). Множество R ограничено, если R : , | | 6 .

Говорят, что — мажоранта для (верхняя граница), а — миноранта для (нижняя граница).

Элемент называется максимальным (минимальным) элементом , если6 ( > ). Из аксиомы порядка следует, что максимальный (минимальный) элемент, если он существует, единственен.

Наименьшая верхняя граница называется точной верхней гранью (супремум) и обозначается sup . Наибольшая нижняя граница называется точной нижней гранью (инфимум) и обозначается inf .

= sup 6 и ′ < : > ′.

= inf > и ′ > : < ′.

2Верхняя и нижняя грань

Теорема 2.1 (Принцип верхней грани). Любое непустое, ограниченное сверху числовое множество имеет верхнюю грань, и она единственная.

Доказательство. Пусть R и = { R | , 6 } (множество верхних границ).̸= ? и ̸= ? по условию.

По аксиоме полноты R : и 6 6 . Число является мажорантой

Теорема 2.2 (Принцип нижней грани). Любое непустое, ограниченное снизу числовое множество имеет нижнюю грань, и она единственная.

Доказательство. Пусть R и = { R | , 6 } (множество нижних границ).̸= ? и ̸= ? по условию.

По аксиоме полноты R : и 6 6 . Число является минорантой

15

Если у множества существует максимальный элемент, то он совпадает с sup . Если же существует sup , то максимального элемента может и не быть.

Например: = (0, 1), sup = 1, inf = 0. Максимальный и минимальный элементы, очевидно, не существуют.

3Теорема Архимеда

Аксиома 2.3 (Архимед). Для любого вещественного можно найти такое натуральное , что взяв 1 слагаемым раз, можно превзойти .

1 + 1 + · · · + 1 > .

слагаемых

Теорема 2.4 (Архимед). Для любого действительного числа можно найти такое натуральное , что > , т.е. R N : > .

Следствие 2.5 (из теоремы 2.4). Каковы бы ни были числа и , 0 < < , существует такое натуральное число , что ( − 1) 6 < .

Доказательство.

( − 1) 6 <

− 6 <

− 1 6 < .

Из теоремы 2.4 известно, что существует такое , что / < . Выберем = min{ | > / }. Тогда − 1 6 / . [:|||||:]

Теорема 2.6. Пусть и ( < ) — произвольные действительные числа. Тогда существует рациональное число , заключенное между числами и .

Доказательство. Пусть = 0, 1 2 . . . . . . , = 0, 1 2 . . . . . . . Иначе говоря, представим икак бесконечные десятичные дроби. Случай, когда целые части этих чисел отличны от нуля, либо тривиальны, либо тривиально сводятся к этому. Найдем такое наименьшее , что < (оно существует, т.к. < ). Теперь рассмотрим 2 случая:

1.> +1. Тогда примем = 0, 1 2 . . . ( +1)100 . . . . Построенное число является конечной десятичной дробью и, очевидно, лежит между и .

2.= + 1. Тогда рассмотрим еще 2 случая:

(a) = 0, 1 2 . . . . . . 0 . . . . Пусть эта первая ненулевая цифра стоит в позиции . Тогда возьмем = 0, 1 2 . . . 000 . . . 100 . . . , где 1 стоит в позиции +1. Указанное число лежит между и и является конечной десятичной дробью. Заметим, что необходимо добавлять эту 1, чтобы при = 0, 1 2 . . . 999 . . . не получилось, что = .

[:|||||:]

16