- •1 Аксиоматика множеств действительных чисел
- •Действительные числа
- •Изображение вещественных чисел бесконечными десятичными дробями
- •Изоморфизм
- •Мощность множества
- •2 Ограниченные и неограниченные множества
- •Ограниченные множества
- •Верхняя и нижняя грань
- •Теорема Архимеда
- •Метод математической индукции
- •3 Предел числовой последовательности
- •Числовые последовательности
- •Свойства бесконечно малых числовых последовательностей
- •Связь бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей
- •Предел числовой последовательности
- •4 Сходящиеся последовательности
- •Свойства сходящихся числовых последовательностей
- •Предельный переход и неравенства
- •Теорема о двух милиционерах
- •5 Монотонные последовательности
- •Определение
- •Теорема Вейерштрасса
- •Число Эйлера
- •Система стягивающихся сегментов
- •6 Частичные пределы последовательности
- •Подпоследовательности
- •Частичные пределы
- •Критерий сходимости числовой последовательности
- •7 Критерий Коши
- •Фундаментальная последовательность
- •Критерий Коши
- •Телескопический признак сходимости
- •Покрытие множеств
- •Предельные точки множеств
- •9 Предел функции
- •Определения
- •Предел функции в точке по Коши
- •Предел функции в точке по Гейне
- •Эквивалентность формулировок
- •Односторонние пределы
- •10 Теоремы, связанные с понятием предела функции
- •Арифметические операции с пределами
- •Предел композиции функций
- •Предельный переход и неравенства
- •11 Критерий Коши существования предела функции
- •Критерий Коши
- •Асимптотическое сравнение функций
- •Свойства отношения эквивалентности
- •Замечательные пределы
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Таблица эквивалентностей
- •12 Непрерывность функции
- •Понятие непрерывности
- •Свойства непрерывных функций
- •Арифметические операции над непрерывными функциями
- •Непрерывность композиции функций
- •Классификация точек разрыва
- •Точки разрыва монотонной функции
- •13 Локальные и глобальные свойства непрерывных функций
- •Локальные свойства
- •Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
- •Сохранение знака непрерывной в точке функции
- •Глобальные свойства
- •Прохождение непрерывной функции через 0 при смене знаков
- •Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение
- •Критерий непрерывности монотонной функции
- •14 Теоремы Вейерштрасса
- •Первая теорема Вейерштрасса
- •Вторая теорема Вейерштрасса
- •Производная функции
- •Понятие производной
- •Односторонние производные
- •Геометрическая интерпретация производной
- •Дифференцируемость функции
- •16 Теоремы о дифференцируемости функций I
- •Правила дифференцирования
- •Функции, заданные параметрически
- •17 Теоремы о дифференцируемых функциях II
- •18 Теоремы о дифференцируемых функциях III
- •19 Производные высших порядков
- •Определение
- •Формула Лейбница
- •Инвариантность формы дифференциала
- •Инвариантность первого дифференциала
- •Нарушение инвариантности для дифференциалов высших порядков
- •Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •20 Равномерная непрерывность
- •Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности и колебание функции на отрезке
- •21 Раскрытие неопределенностей
- •Первое правило Лопиталя
- •Второе правило Лопиталя
- •Применение на практике
- •22 Формула Тейлора
- •Постановка задачи
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа
- •Единственность разложения
- •Разложение по формуле Маклорена
- •23 Исследование функций методами дифференциального исчисления I
- •Условия монотонности функций
- •Условия точек экстремума
- •Асимптота графика функции
- •Выпуклость функции и точки перегиба
- •Геометрическая интерпретация выпуклости
- •Точки перегиба
- •25 Функции нескольких переменных
- •Определения
- •Классификация точек
- •Открытые и замкнутые множества
- •Окрестность точки
- •Предел функции
- •Функции двух переменных
- •Непрерывность
- •Частные производные ФНП и ее дифференциал
- •Необходимые условия дифференцируемости
- •Достаточное условие дифференцируемости
- •27 Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных
- •Дифференцируемость сложной функции
- •Инвариантность формы первого дифференциала и правила дифференцирования
- •28 Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Смешанные производные
- •Второй дифференциал ФНП
- •29 Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала
- •Частная производная первого порядка
- •Касательная плоскость
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •30 Неявные функции
- •Понятие неявной функции
- •Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции
- •Теорема о разрешимости системы неявных функций
- •31 Безусловный экстремум функции нескольких переменных I
- •32 Безусловный экстремум функции нескольких переменных II
- •Необходимое условие локального экстремума в терминах второй производной
- •Критерий Сильвестра
- •Достаточное условие локального экстремума для функции двух переменных
- •Формула Тейлора и замена переменных для ФНП
- •Формула Тейлора в многомерном случае
- •Замена переменных в дифференциальных уравнениях
- •33-34 Условный локальный экстремум
- •Метод исключения для нахождения точек условного экстремума
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Достаточные условия существования условного экстремума по методу Лагранжа
- •35 Первообразная функция и неопределенный интеграл I
- •Основные определения
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Методы интегрирования
- •36 Первообразная функция и неопределенный интеграл II
- •Разложение многочлена на множители
- •Комплексные числа
- •Разложение многочлена на множители
- •Интегрирование рациональных дробей
- •37 Первообразная функция и неопределенный интеграл III
- •Некоторые тригонометрические выражения
- •Квадратичные иррациональности
- •38 Определенный интеграл Римана I
- •Разбиение отрезка
- •Свойства измельчения
- •Определенный интеграл
- •Необходимое условие интегрируемости
- •Критерий интегрируемости функции по Риману
- •39 Определенный интеграл Римана II
- •Интегральные суммы Дарбу
- •Достаточные признаки интегрируемости
- •Свойства интегрируемых функций
- •Безымянное свойство
- •Аддитивность
- •Линейность интеграла
- •Интегрируемость произведения
- •Неотрицательность определенного интеграла
- •Интегрируемость модуля
- •Ну и еще два свойства
- •40 Определенный интеграл Римана III
- •Теоремы о среднем
- •Первая теорема о среднем
- •Вторая теорема о среднем
- •Связь между определенным и неопределенным интегралами
- •Основная формула интегрального исчисления
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям
- •41 Несобственные интегралы
- •Несобственные интегралы I рода
- •Несобственные интегралы II рода
- •Сходимость в смысле главного значения
- •Критерий Коши сходимости несобственных интегралов I рода
- •42 Признаки сравнения несобственных интегралов
- •Простейшие признаки сравнения
- •Абсолютная и условная сходимость
- •Признак Дирихле
- •Признак Абеля
- •43 Приложения интегрального исчисления к вычислению площадей
- •Многоугольные фигуры
- •Свойства площади
- •Квадрируемость фигуры
- •Критерии квадрируемости
- •Криволинейная трапеция
- •Параметрически заданная кривая
- •Площадь фигуры в полярной системе координат
- •Понятие кривой на плоскости и в пространстве
- •Длина дуги кривой
- •Объем тела вращения
- •Дифференцирование под знаком интеграла
- •Теория
- •Примеры
- •Вопросы для самопроверки перед коллоквиумом
- •45 Численные методы
- •Метод бисекции
- •Нахождение всех корней полинома
- •Метод Ньютона
- •Метод золотого сечения
- •Градиентный спуск
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Метод прямоугольников
- •Метод трапеций
- •Метод Симсона
- •Различные равенства и неравенства
- •Тригонометрические тождества
- •Классика
- •Гиперболические функции
- •Предел числовой последовательности
- •Функции
- •Функции нескольких переменных
- •Таблица производных
- •Ряды Маклорена
- •Таблица неопределенных интегралов
- •Методы интегрирования
- •Интегрирование рациональных функций
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Метод Остроградского
- •Рационализация интегралов
- •Обобщенная формула интегрирования по частям
- •Более нестандартные примеры
- •Определенные и несобственные интегралы
tg2 = 11+cos−cos 22 .
ctg2 = 1+cos1−cos 22 .
sin ± sin = 2 sin |
±2 |
|
cos |
2 |
|
. |
|
|
|||||||||||
cos + cos = 2 cos |
+ |
|
cos |
−2 |
|
. |
|
||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||
cos − cos = −2 sin |
+ |
|
sin |
−2 |
|
. |
|||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
sin( ± ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
tg ± tg = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
cos cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sin( ± ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ctg ± ctg = |
sin sin |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
sin( + ), где |
||
sin + cos = |
2 + 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin = |
√ |
|
, а |
cos = |
√ |
|
. |
||
2+ 2 |
2+ 2 |
2.2 Гиперболические функции
sh = − − .
2
ch = + − .
2
ch2 − sh2 = 1.
sh( ± ) = sh ch ± sh ch .
ch( ± ) = ch ch ± sh sh .
|
|
|
th ±th |
|
|
th( ± ) = |
1±th th |
. |
|
|
cth( ± ) = |
1±cth cth |
||
|
cth ±cth . |
sh 2 = 2 sh ch .
ch 2 = ch2 + sh2 .
th 2 = 1+th2 th2 .
cth 2 = 12 (th + cth ).
arcsin + arccos = 2 .
arctg + arcctg = 2 .
arcsin = arctg |
√ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
arccos = 2 arctg √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1+1− |
. |
|
|
|
|
||||||||
arctg = arcsin |
√ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
arcctg = { arcsin √ 1 |
2 , |
||||||||||||
arcsin |
√ |
1 |
|
|
, |
|
|
||||||
1+ |
2 |
|
|
||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
sh sh = ch( + )−ch( − ) . 2
sh ch = sh( + )+sh( − ) . 2
ch ch = ch( + )+ch( − ) . 2
th th = ch( + )−ch( − ) . ch( + )+ch( − )
sh ± sh = 2 sh ±2 ch 2 .ch + ch = 2 ch +2 ch −2 .ch − ch = 2 sh +2 sh −2 .
th ± th = sh( ± ) .
ch ch
sh2 = ch 2 −1 . 2
ch2 = ch 2 +1 . 2
> 0,
< 0.
3Предел числовой последовательности
Число . В равенстве ниже 0 < < 1.
→∞ ( |
1 |
) |
|
|
( |
|
1 |
) |
+1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
√ ! |
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
! |
|
! |
|
||||||||||||||||
= lim |
1 + |
|
|
|
= lim |
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
= 2 + |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формула Стирлинга. ln ! = ln − + O(ln ), или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
! |
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→∞ √2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
159
Теорема 46.1 (Теорема Штольца). Пусть |
и — две последовательности веще- |
|||||||||||||
ственных чисел, причем |
−−−→ |
+ |
∞ |
и |
|
: |
|
> |
|
+1 > . Кроме того, пусть |
||||
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim→∞ |
|
= , где R {+∞} {−∞} (важно, что ̸= ∞). Тогда |
||||||||||||
− −1 |
||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
= lim |
− −1 |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
→∞ |
|
|
→∞ |
− −1 |
|
11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
+ · · · + |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Например, пусть имеется предел |
lim |
2 |
|
|
= ln , очевидно, возрастает и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
{ |
ln |
} −−−→ |
+ |
∞ |
. Тогда: |
|
|
|
|
|
→∞ |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 + |
|
+ · · · + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= 1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
→∞ |
|
|
|
ln |
|
|
|
= |
→∞ ln − ln( − 1) |
|
→∞ ln ( |
|
|
|
) |
→∞ ln |
(1 + |
|
1 |
|
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
{ }, { } — произвольные последовательности. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim + lim 6 lim( + ) 6 lim + |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
→∞ |
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim + |
|
6 |
|
+ ) 6 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
lim( |
lim |
lim . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
→∞ |
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
Теорема 46.2 (Теорема Тёплица). Пусть последовательность зависит от двух индексов и удовлетворяет условиям:
1. |
> 0 для любых , N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
1 + 2 + · · · + = 1 для любого N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3. |
lim = 0 для любого фиксированного N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
} −−−→ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть также имеется последовательность |
′ |
< |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
′ |
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Например, пусть = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, причем > 0. Введем = |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ · · · + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ · · · + |
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|||||||||||||||
Тогда выполняется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
> 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ · · · + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
1 + 2 + · · · + = |
|
|
1 |
2 |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2 + · · · +
160
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= 0. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 1 |
1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
→∞ 1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ · · · + |
|
|
|
|
|
+ · · · + |
|
− |
|
− · · · − |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
1 |
−1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
||
|
Последний переход выполнен по теореме Штольца. В итоге получаем, что |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= . Значит, |
|
lim = lim . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
+ · · · + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Из этой теоремы помимо только что показанного можно вывести следующие 3 свойства: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
1+ 2+···+ |
= |
lim . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
→∞ |
|
1 |
· 2 · |
· |
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim |
√ = lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 Функции
Пусть lim ( ) = 1, |
lim ( ) = |
∞ |
, |
lim |
( )( ( ) |
− |
1) = . Тогда |
lim ( ) ( ) = . |
||||||||||||
0 |
|
→ |
0 |
|
|
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
0 |
||||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Все последующие эквивалентности даны при условии, что → 0. |
|
|
|
|||||||||||||||||
sin . |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 + ) . |
|
|
|
||||||||
1 − cos |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + ) − 1 . |
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
tg . |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 ln . |
|
|
|
||||||||
arcsin . |
|
|
|
|
|
|
|
|
log (1 + ) |
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|||||||||
arctg . |
|
|
|
|
|
|
|
|
sh . |
|
|
|
||||||||
− 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
ch − 1 |
2 |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 46.3 (Теорема Лагранжа). Если выполнено:
1.( ) C[ , ].
2.( ) дифференцируема на ( , ).
Тогда ( , ), для которой ( ) − ( ) = ′( )( − ).
Теорема 46.4 (Теорема Коши о конечном приращении). Пусть для функций ( ) и ( )
выполнено:
161
1.( ), ( ) C[ , ].
2.( ), ( ) дифференцируема на ( , ).
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
|
( , ) : ′( )( ( ) |
− |
( )) = ′( )( ( ) |
− |
( )) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
′( ) = 0 |
|
|
|
|
[ , ] |
|
( )− ( ) |
|
= |
′( ) |
|
||||
2. |
Если |
для |
|
, то ( )− ( ) |
′( ) . |
||||||||||||
̸ |
|
|
|
|
|
Теорема 46.5 (Первое правило Лопиталя). Пусть на некоторой окрестности U′ ( ) для функций ( ) и ( ) выполняется:
1.и дифференцируемы.
2.lim ( ) = lim ( ) = 0.
→ →
3. |
′( ) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
̸ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
lim |
|
′( ) |
|
= |
R. |
|
|
|||||||
|
′( ) |
|
|
||||||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
lim |
( ) |
= |
lim |
′( ) |
= |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
′( ) |
||||||||||
Тогда → |
( ) |
→ |
|
Теорема 46.6 (Второе правило Лопиталя). Пусть на некоторой окрестности U′ ( ) для функций ( ) и ( ) выполняется:
1.и дифференцируемы.
2.lim ( ) = lim ( ) = ∞.
→ →
3. |
′( ) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
̸ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
lim |
|
′( ) |
|
= |
R. |
|
|
||||||
|
′( ) |
|
|
|||||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
lim |
( ) |
= lim |
′( ) |
= |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
′( ) |
|||||||||
Тогда → |
( ) |
→ |
|
5Функции нескольких переменных
Теорема 46.7 (Достаточное условие существования двойного предела). Пусть функ-
ция ( , ) определена в проколотой окрестности |
точки ( 0, 0), и 0 |
> 0 : , |
|
||||||||||||||||||||||
(0 |
0) | ( |
|
0 + |
|
cos |
, |
0 |
+ |
|
sin |
|
) − |
|
| 6 |
|
( ), где |
|
0+0 |
|
( |
|
) = 0. Тогда |
0 |
|
. |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
lim ( , ) = |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
Для функции (¯):
(¯) = ∑ ∂ .
=1 ∂
162