Пусть теперь ′ = { ′} =1′ и ′′ = { ′′} =1′′ — произвольные разбиения отрезка [ , ]. Возьмем разбиение * = ′ ′′. Тогда по лемме получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′′ |
|
|
′( ) |
|
′′( ) |
| 6 |
|
′( ) |
|
*( ) |
|
+ |
|
*( ) |
|
′′( ) |
| 6 |
∑ |
( )Δ ′ + |
∑ |
(2) |
||
| |
|
− |
|
| |
|
|
− |
|
| |
|
| |
|
− |
|
=1 |
|
=1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из последнего неравенства и неравенства из условия теоремы вытекает, что |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
> 0 |
|
( ) > 0 |
: ′, ′′ < |
| |
( ) |
− |
′′ |
| |
|
(3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
( ) < . |
|
||||||||||||
Заметим, что это условие очень похоже на условие Коши для числовых функций. Возьмем
|
( ) |
|
( ) |
( ) |
|
|
−−−→∞→ |
|
||
произвольную последовательность разбиений = |
{ |
} =1 |
|
|
0. Для |
|||||
|
|
, для которой |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
каждого такого разбиения , отметив произвольно точки 1 |
, . . . , |
, составим сумму |
||||||||
Римана ( ) и рассмотрим числовую последовательность { ( )}∞=1. Она является |
||||||||||
фундаментальной, т.к. в силу (3) для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 0 : , > | ( ) − ( )| < . |
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, по критерию Коши она сходится. Пусть = |
lim |
|
|
, |
( ) |
, . . . , ( ) . |
||||
Выбираем разбиение с диаметром < . В силу (2) имеем: |
→∞ |
|
( |
1 |
|
) |
||||
|
|
|
∑ |
( )( )Δ ( ) + |
∑ |
| ( ) − ( )| 6 |
( )Δ . |
|
=1 |
|
=1 |
Переходя в последнем неравенстве к пределу при → ∞, получаем, что
∑
| − ( )| 6 ( )Δ < lim ( ) = .
→0
=1
Что и требовалось доказать.
[:|||||:]
Часть 39
Определенный интеграл Римана II
1Интегральные суммы Дарбу
Пусть функция ( ) ограничена на отрезке [ , ]. В этом случае функция также ограничена
на любом отрезке |
[ |
|
−1 |
, |
] |
, а значит, |
|
sup |
( ) = |
|
и |
|
inf |
( ) = . Верхней суммой |
|
|
|
|
[ −1, ] |
|
|
|
[ −1, ] |
|
Дарбу и нижней суммой Дарбу называют соответственно
∑
= ( ),
=1
∑
= ( ).
=1
112
Установим геометрический смысл введенных сумм. Рассмотрим -ый отрезок разбиения , а именно [ −1, ]. Вспомним, что в входят все слагаемые вида , в том числе и — некоторый прямоугольник, площадь которого примерна равна площади участка [ −1, ] под графиком. Нетрудно понять, что — это наименьший прямоугольник, в котором содержится эта часть графика. А — это наибольший прямоугольник, который целиком содержится внутри этой части.
Таким образом, можно сказать, что ( ) 6 ( ) 6 ( ). Более того, несложно доказать, что ( ) R[ , ] > 0 ( ) > 0 : , < ( ) − ( ) < .
2Достаточные признаки интегрируемости
Теорема 39.1 (Интегрируемость монотонной функции). Если ограниченная на [ , ] функция является монотонной на нем, то ( ) R[ , ].
Доказательство. Предположим, не теряя общности, что ( ) не убывает на [ , ]. Тогда своего максимального значения на отрезке [ −1, ] функция достигает в точке , а минимального в−1. Поэтому можно записать
|
|
|
|
∑ |
∑ |
|
∑ |
( )Δ = |
( ( ) − ( −1))Δ 6 |
|
( ( ) − ( −1)) = ( ( ) − ( )). |
=1 |
=1 |
|
=1 |
Нужно доказать, что эта величина меньше, чем заданное . Если ( ) = ( ), то при любом
выборе это неравенство справедливо. В противном же случае можно выбрать = |
|
, и |
( )− ( ) |
||
тогда неравенство будет верным при всех < , что и требовалось доказать. |
[:|||||:] |
|
Теорема 39.2 (Интегрируемость непрерывной функции). Если ( ) непрерывна на [ , ], то ( ) R[ , ].
Доказательство. Если ( ) непрерывна на [ , ], то по теореме 20.4 она и равномерно непрерывна на нем. Это значит, что
> 0 ( ) > 0 : , [ , ] : | − | < | ( ) − ( )| < − .
Но тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )Δ < |
|
|
|
· |
= |
|
|
· ( − ) = . |
||
|
|
− |
|
|
− |
|
||||
∑ |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|||
=1 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[:|||||:]
Следствие 39.3. Если ( ) непрерывна на ( , ) и ( ) ограничена на [ , ], то ( ) R[ , ].
Доказательство. Возьмем некоторое произвольное > 0. Запишем интегральную сумму в следующем виде:
|
[ |
|
|
, ] |
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
∑ |
|
1 |
|
[∑, + ] |
[ |
, ] |
1 |
, ∑] [ + , |
|
] |
|||
|
( )Δ = |
( )Δ + |
|
|
( )Δ . |
||||||||
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
− |
|
|
|
=1 |
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||
Тем самым мы разбили интегральную сумму на 2 части: ту, отрезки которой содержатся в -окрестностях точек и , и ту, в которой содержатся все оставшиеся отрезки. Заметим, что по предыдущей теореме эта 2 часть меньше, чем некоторое ′, т.к. все ее отрезки целиком покрываются отрезком [ + , − ]. С другой стороны, по определению колебания функции на отрезке можно записать, что ( ) 6 2 для некоторого . Отрезочки в 1 части суммы имеют
длину 2 . Но тогда |
|
[:|||||:] |
=1 ( )Δ < 2 · 2 + ′ = ′′. |
||
|
∑ |
|
113