Здесь > 0, поэтому последнее неравенство выполняется для всех только при неположительном дискриминанте, т.е.

= 4 2 − 4 6 0,

, 2 6 ‖ ‖2 · ‖ ‖2,

, 6 ‖ ‖ · ‖ ‖.

Равенство , = ‖ ‖ · ‖ ‖ выполняется только в случае + , + = 0, т.е. + = 0, а это и означает, что и линейно зависимы. [:|||||:]

Теорема 25.2 (Неравенство Минковского). Для любых двух векторов = ( 1, . . . , ) и

= ( 1, . . . , ) имеет место неравенство

Доказательство. По формуле квадрата суммы и в силу неравенства Коши-Буняковского:

[:|||||:]

2Определения

2.1 Классификация точек

Будем называть открытым шаром радиуса с центром в точке множество { R |( , ) < }, а закрытым шаром радиуса с центром в точке множество { R | ( , ) 6}. Сферой же радиуса с центром в будем называть множество { R | ( , ) = }. Принято обозначать открытый шар радиуса с центром в как U ( ). Подробнее о связи с окрестностью точки будет сказано ниже.

Например, в двумерном случае открытый шар — это множество всех точек круга радиуса (не считая границу), закрытый — сам круг радиуса , а сфера — это окружность радиуса .

Пусть имеется множество R . Тогда все точки пространства можно разделить на 3 непересекающихся множества:

70

внутренняя для , если > 0 : U ( ) . Фактически это означает, что существует такой открытый шар вокруг , который целиком содержится в .

внешняя для , если > 0 : U ( ) ∩ = ?. Это означает, что существует такой открытый шар вокруг , который не содержится в .

граничная, если > 0 ′, ′′ U ( ) : ′ , ′′ / . Заметим, что граничная точка не является ни внутренней, ни внешней. Иначе говоря, часть точек из открытого шара вокруг принадлежит , а часть — нет.

2.2Открытые и замкнутые множества

Будем называть множество открытым, если оно состоит только из внутренних точек. Множество называется замкнутым, если оно содержит также все свои граничные точки. Границей множества ∂ будем называть множество всех граничных точек .

Из определений ясно, что если — открытый шар, то ∂ ̸ , а если замкнутый, то ∂ . Однако стоит понимать, что множество может быть не открытым и не замкнутым, например:

Очевидно, что в этом множестве есть граничные точки, но не все.

Важно также понимать, что граница множества — необязательно подмножество самого множества. Рассмотрим следующий пример:

= {( , ) | 0 6 6 1, 0 6 6 1, где , — рациональные}.

Нетрудно понять, что ∂ = {( , ) | 0 6 , 6 1}, т.е. ∂ . Более того, из определений этих множеств следует, что | | = 0, в то время как |∂ | = |R|, т.е. | | < |∂ |.

Будем называть точку предельной для , если > 0 в U ( ) есть точки из , отличные от . Из этого определения следует, что — предельная точка т.и.т.т., когда > 0 в U ( ) содержится бесконечно много точек из (тут все аналогично одномерному случаю).

Теорема 25.3. Множество замкнуто т.и.т.т., когда содержит все свои предельные точки.

Доказательство.

Необходимость.

, будучи замкнутым, не содержит в себе только внешние точки. Но предельные точки по определению не являются внешними, значит они заведомо входят в .

Достаточность.

Предположим, что не замкнуто и * — граничная точка, такая что * / , т.е. > 0

в U ( *) есть точки из , отличные от * (т.к. * / по предположению). Но это не что иное, как определение предельной точки, т.е. * — предельная точка. Но тогда по 1 части теоремы * , т.е. получили противоречие.

[:|||||:]

Предельная и граничная точка — разные понятия! Например, рассмотрим множество

= {( , ) | 2 + 2 6 1} {(2, 2)}. Тогда:

71

Точка (0, 0) является предельной, но не граничной.

Точка (1, 0) и граничная, и предельная.

Точка (2, 2) граничная (т.к. в любом открытом шаре вокруг нее есть она сама и точки не из ), но не предельная.

2.3Окрестность точки

Теперь поговорим об окрестностях. В многомерном пространстве можно определить 2 вида взаимозаменяемых (как будет показано позже) окрестностей. Обычно в доказательствах принято использовать шаровую окрестность U ( ) (т.е. открытый шар), но возможен и другой вариант.

Назовем прямоугольной окрестностью точки окрестность ( 1, 2, . . . , ), состоящую из всех точек R , таких что | 1 − 1| < 1, | 2 − 2| < 2, . . . , | − | < . Эта окрестность так называется, потому что фактически является параллелепипедом в -мерном пространстве со сторонами (2 1, 2 2, . . . , 2 ). Однако вид окрестности не имеет значения (в одномерном случае они вообще одинаковы):

Теорема 25.4. Любая шаровая -окрестность точки содержит в себе некоторую прямоугольную окрестность, и наоборот, любая прямоугольная окрестность точки содержит в себе некоторую шаровую -окрестность.

Доказательство.

[:|||||:]

Будем называть множество ограниченным, если > 0 : | | 6 . Здесь запись | | фактически означает ‖ ‖. Далее мы везде будем использовать | |, если из контекста понятно, что имеется в виду. Это удобно, поскольку многие определения и теоремы в многомерном случае формулируются точно так же, как и в одномерном, если не учитывать смысл, который вкладывается в запись | |.

Будем говорить, что точки и связаны непрерывной кривой ( ), если ( ) C[ , ] :( ) = , ( ) = . Иными словами, есть некоторая непрерывная кривая, каждая точка ( ) которой задается как ( ) = ( 1( 1), 2( 2), . . . , ( )), причем первая точка кривой совпадает с , а последняя — с , т.е. она соединяет точки и , причем ее траектория может быть абсолютно любой.

Соответственно, множество называется связным, если ′, ′′ ( ), соединяющая′ и ′′, причем ( ) . Например, множество = {( , ) | 2 + 2 6 1} связно, а ′ ={( , ) | ( − 3)2 + ( − 3)2 6 1} — нет, т.к. не существует кривой, целиком содержащейся в ′, которая бы соединяла, например, ′ = (0, 0) и ′′ = (3, 3).

72

3Числовые последовательности в R

Как и в одномерном случае, у нас есть некоторое отображение из N в R , т.е. каждомуN ставится в соответствие = ( 1 , 2 , . . . , ) R . Обратите внимание, что означает не возведение в степень, а -ый член последовательности.

Теперь введем понятие сходимости в многомерном пространстве:

lim = > 0 ( ) > 0 : > | − | < .

→∞

Заметим, что это определение абсолютно аналогично таковому в одномерном случае за исключением смысла | − | (теперь это ( , )).

Теорема 25.5. Для любого конечномерного пространства R выполняется: { } −−−→

→∞

{ } −−−→ .

→∞

Доказательство.

Необходимость.

По определению > 0 ( ) > 0 : > ∑( − )2 < 2 | − | < , а это

[:|||||:]

Таким образом, все теоремы доказываются, опираясь на уже доказанное для одномерного случая. Например:

Теорема 25.6 (Критерий Коши). Последовательность { } сходится т.и.т.т., когда она является фундаментальной, т.е. > 0 ( ) : > , N | + − | < .

Доказательство.

Необходимость.

Полностью аналогично одномерному случаю.

Достаточность.

— фундаментальная. Тогда > 0 ( ) : > , N ∑( + − )2 < 2

=1

| + − | < , а это определение фундаментальной последовательности для одномерного случая. Каждая координатная последовательность сходится, значит из предыдущей теоремы следует, что и { } сходится.

[:|||||:]

Теорема 25.7 (Теорема Больцано-Вейерштрасса). Если { } ограничена, то существует

ее сходящаяся подпоследовательность, т.е. { } −−−→ .

→∞

73