- •1 Аксиоматика множеств действительных чисел
- •Действительные числа
- •Изображение вещественных чисел бесконечными десятичными дробями
- •Изоморфизм
- •Мощность множества
- •2 Ограниченные и неограниченные множества
- •Ограниченные множества
- •Верхняя и нижняя грань
- •Теорема Архимеда
- •Метод математической индукции
- •3 Предел числовой последовательности
- •Числовые последовательности
- •Свойства бесконечно малых числовых последовательностей
- •Связь бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей
- •Предел числовой последовательности
- •4 Сходящиеся последовательности
- •Свойства сходящихся числовых последовательностей
- •Предельный переход и неравенства
- •Теорема о двух милиционерах
- •5 Монотонные последовательности
- •Определение
- •Теорема Вейерштрасса
- •Число Эйлера
- •Система стягивающихся сегментов
- •6 Частичные пределы последовательности
- •Подпоследовательности
- •Частичные пределы
- •Критерий сходимости числовой последовательности
- •7 Критерий Коши
- •Фундаментальная последовательность
- •Критерий Коши
- •Телескопический признак сходимости
- •Покрытие множеств
- •Предельные точки множеств
- •9 Предел функции
- •Определения
- •Предел функции в точке по Коши
- •Предел функции в точке по Гейне
- •Эквивалентность формулировок
- •Односторонние пределы
- •10 Теоремы, связанные с понятием предела функции
- •Арифметические операции с пределами
- •Предел композиции функций
- •Предельный переход и неравенства
- •11 Критерий Коши существования предела функции
- •Критерий Коши
- •Асимптотическое сравнение функций
- •Свойства отношения эквивалентности
- •Замечательные пределы
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Таблица эквивалентностей
- •12 Непрерывность функции
- •Понятие непрерывности
- •Свойства непрерывных функций
- •Арифметические операции над непрерывными функциями
- •Непрерывность композиции функций
- •Классификация точек разрыва
- •Точки разрыва монотонной функции
- •13 Локальные и глобальные свойства непрерывных функций
- •Локальные свойства
- •Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
- •Сохранение знака непрерывной в точке функции
- •Глобальные свойства
- •Прохождение непрерывной функции через 0 при смене знаков
- •Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение
- •Критерий непрерывности монотонной функции
- •14 Теоремы Вейерштрасса
- •Первая теорема Вейерштрасса
- •Вторая теорема Вейерштрасса
- •Производная функции
- •Понятие производной
- •Односторонние производные
- •Геометрическая интерпретация производной
- •Дифференцируемость функции
- •16 Теоремы о дифференцируемости функций I
- •Правила дифференцирования
- •Функции, заданные параметрически
- •17 Теоремы о дифференцируемых функциях II
- •18 Теоремы о дифференцируемых функциях III
- •19 Производные высших порядков
- •Определение
- •Формула Лейбница
- •Инвариантность формы дифференциала
- •Инвариантность первого дифференциала
- •Нарушение инвариантности для дифференциалов высших порядков
- •Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •20 Равномерная непрерывность
- •Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности и колебание функции на отрезке
- •21 Раскрытие неопределенностей
- •Первое правило Лопиталя
- •Второе правило Лопиталя
- •Применение на практике
- •22 Формула Тейлора
- •Постановка задачи
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа
- •Единственность разложения
- •Разложение по формуле Маклорена
- •23 Исследование функций методами дифференциального исчисления I
- •Условия монотонности функций
- •Условия точек экстремума
- •Асимптота графика функции
- •Выпуклость функции и точки перегиба
- •Геометрическая интерпретация выпуклости
- •Точки перегиба
- •25 Функции нескольких переменных
- •Определения
- •Классификация точек
- •Открытые и замкнутые множества
- •Окрестность точки
- •Предел функции
- •Функции двух переменных
- •Непрерывность
- •Частные производные ФНП и ее дифференциал
- •Необходимые условия дифференцируемости
- •Достаточное условие дифференцируемости
- •27 Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных
- •Дифференцируемость сложной функции
- •Инвариантность формы первого дифференциала и правила дифференцирования
- •28 Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Смешанные производные
- •Второй дифференциал ФНП
- •29 Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала
- •Частная производная первого порядка
- •Касательная плоскость
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •30 Неявные функции
- •Понятие неявной функции
- •Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции
- •Теорема о разрешимости системы неявных функций
- •31 Безусловный экстремум функции нескольких переменных I
- •32 Безусловный экстремум функции нескольких переменных II
- •Необходимое условие локального экстремума в терминах второй производной
- •Критерий Сильвестра
- •Достаточное условие локального экстремума для функции двух переменных
- •Формула Тейлора и замена переменных для ФНП
- •Формула Тейлора в многомерном случае
- •Замена переменных в дифференциальных уравнениях
- •33-34 Условный локальный экстремум
- •Метод исключения для нахождения точек условного экстремума
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Достаточные условия существования условного экстремума по методу Лагранжа
- •35 Первообразная функция и неопределенный интеграл I
- •Основные определения
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Методы интегрирования
- •36 Первообразная функция и неопределенный интеграл II
- •Разложение многочлена на множители
- •Комплексные числа
- •Разложение многочлена на множители
- •Интегрирование рациональных дробей
- •37 Первообразная функция и неопределенный интеграл III
- •Некоторые тригонометрические выражения
- •Квадратичные иррациональности
- •38 Определенный интеграл Римана I
- •Разбиение отрезка
- •Свойства измельчения
- •Определенный интеграл
- •Необходимое условие интегрируемости
- •Критерий интегрируемости функции по Риману
- •39 Определенный интеграл Римана II
- •Интегральные суммы Дарбу
- •Достаточные признаки интегрируемости
- •Свойства интегрируемых функций
- •Безымянное свойство
- •Аддитивность
- •Линейность интеграла
- •Интегрируемость произведения
- •Неотрицательность определенного интеграла
- •Интегрируемость модуля
- •Ну и еще два свойства
- •40 Определенный интеграл Римана III
- •Теоремы о среднем
- •Первая теорема о среднем
- •Вторая теорема о среднем
- •Связь между определенным и неопределенным интегралами
- •Основная формула интегрального исчисления
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям
- •41 Несобственные интегралы
- •Несобственные интегралы I рода
- •Несобственные интегралы II рода
- •Сходимость в смысле главного значения
- •Критерий Коши сходимости несобственных интегралов I рода
- •42 Признаки сравнения несобственных интегралов
- •Простейшие признаки сравнения
- •Абсолютная и условная сходимость
- •Признак Дирихле
- •Признак Абеля
- •43 Приложения интегрального исчисления к вычислению площадей
- •Многоугольные фигуры
- •Свойства площади
- •Квадрируемость фигуры
- •Критерии квадрируемости
- •Криволинейная трапеция
- •Параметрически заданная кривая
- •Площадь фигуры в полярной системе координат
- •Понятие кривой на плоскости и в пространстве
- •Длина дуги кривой
- •Объем тела вращения
- •Дифференцирование под знаком интеграла
- •Теория
- •Примеры
- •Вопросы для самопроверки перед коллоквиумом
- •45 Численные методы
- •Метод бисекции
- •Нахождение всех корней полинома
- •Метод Ньютона
- •Метод золотого сечения
- •Градиентный спуск
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Метод прямоугольников
- •Метод трапеций
- •Метод Симсона
- •Различные равенства и неравенства
- •Тригонометрические тождества
- •Классика
- •Гиперболические функции
- •Предел числовой последовательности
- •Функции
- •Функции нескольких переменных
- •Таблица производных
- •Ряды Маклорена
- •Таблица неопределенных интегралов
- •Методы интегрирования
- •Интегрирование рациональных функций
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Метод Остроградского
- •Рационализация интегралов
- •Обобщенная формула интегрирования по частям
- •Более нестандартные примеры
- •Определенные и несобственные интегралы
И снова получился интеграл от рациональной дроби:
( |
2 |
|
2 1 |
|
( 2 |
1) |
) · |
|
2 |
( |
|
2) + 2 ( |
|
2 |
) |
||||||
|
− |
|
, |
|
|
|
− |
|
− |
1 |
|
− |
|
|
|
2 − |
1 |
|
. |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
( |
|
2)2 |
|
|||||||||||
− |
|
|
2 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Многочлен 2 + + имеет ровно 1 вещественный корень. Заметим, что в этом случае2 + + = ( − 1)2, т.е. под знаком корня стоит полный квадрат, а значит данный интеграл тривиален.
Некоторые примеры взятия интегралов можно найти на странице 167.
Часть 38
Определенный интеграл Римана I
1Разбиение отрезка
Назовем разбиением отрезка [ , ] множество2
= { } =0 : = 0 < 1 < · · · < −1 < = .
Назовем * измельчением разбиения , если любая точка разбиения является точкой разбиения *. Этот факт будем обозначать как * .
1.1Свойства измельчения
1.Если 2 1 и 3 2, то 3 1. Это свойство напрямую следует из определения.
2.Для любых 1 и 2 существует : 1 и 2. Действительно, достаточно выбрать в качестве все точки из 1 и 2. Т.е. взять = 1 2 — объединение разбиений.
2Определенный интеграл
Рассмотрим функцию ( ), определенную в каждой |
точке сегмента [ , ]. Введем несколько |
||||
обозначений. Пусть [ −1, ] — отрезок разбиения , а |
= − −1 — его длина. Назовем |
||||
диаметром разбиения число = max |
, т.е. длину наибольшего интервала разбиения. |
||||
16 6 |
|
|
|
|
|
Наконец, обозначим через произвольную точку отрезка [ |
−1 |
, |
]. |
||
|
|
|
|
|
Назовем интегральной суммой функции на [ , ] сумму
∑
( , ) = ( )Δ .
=1
2Спасибо Александре Корытовой за предоставленную лекцию.
109
Предположим, что [ , ]( ) > 0. Тогда ( )Δ — площадь прямоугольника со стороной и высотой( ). Это проиллюстрировано на рисунке справа. Таким образом, интегральная сумма, отвечающая выбранному разбиению и промежуточным точкам , представляет собой площадь ступенчатой фигуры. Нетрудно понять, что чем меньше диаметр разбиения, тем «ближе» эта площадь к площади фигуры, ограниченной графиком функции ( ) и прямыми = и = .
Число называется определенным интегралом от функции ( ) по отрезку [ , ], если
> 0 ( ) > 0 : , < , ( 1, . . . , ) | ( , ) − | < .
В этом случае функция ( ) называется интегрируемой по Риману на сегменте [ , ]. Это обозначается как ( ) R([ , ]). Фактически по определению можно записать
|
|
→0 |
|
|
= |
∫ |
|
|
lim ( , ) = |
( ) . |
Следует отметить, что значение этого предела не должно зависеть от выбора и . Последняя запись, кстати, демонстрирует первоначальный смысл знака интеграла — это не что иное, как сумма. Теперь сформулируем несколько важных теорем.
3Необходимое условие интегрируемости
Теорема 38.1. Если функция ( ) интегрируема по отрезку [ , ], то она является ограниченной на нем.
Доказательство. Докажем от противного. Пусть ( ) не ограничена на [ −1, ] [ , ]. Тогда запишем интегральную сумму в следующем виде:
|
|
|
∑ |
( , ) = ( )Δ + |
( )Δ . |
|
=1 |
|
̸ |
|
= |
Выберем точки произвольным образом для всех ̸= . Поскольку ( ) не ограничена на [ −1, ], то точку можно выбрать таким образом, чтобы сделать сумму справа сколь
угодно большой. Сделаем эту сумму больше, чем, например, |
1 |
. Но тогда @ lim ( , ), что |
|
||
противоречит условию. |
|
→0 |
|
[:|||||:] |
Обратное неверно! Действительно, рассмотрим в качестве примера функцию Дирихле на
отрезке [0, 1]: |
{0, |
|
R Q. |
( ) = |
|||
|
1, |
|
Q, |
|
|
|
|
С одной стороны, если выбрать все так, что ( ) = 1 (т.е. Q), то ( , ) = 1. Но если взять все R Q, то ( , ) = 0.
110
4Критерий интегрируемости функции по Риману
Назовем колебанием функции на |
отрезке [ , ] число |
|
|
|
||||||||||||
|
, |
[ |
, |
]) = sup |
| |
|
( |
′ |
) − |
|
( |
′′ |
)| = sup |
|
) − |
inf ( ). |
( |
|
|
|
|
|
|
( |
[ , ] |
||||||||
|
|
|
|
′, ′′ [ , ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ , ] |
|
|
|
Обозначим ( ) = ( , [ −1, ]).
Теорема 38.2. Функция ( ) интегрируема по Риману на отрезке [ , ] т.и.т.т., когда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 0 ( ) : , < |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
( )Δ < . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
( )Δ = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Или, иными словами, lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем сначала необходимость. Пусть ( ) |
интегрируема по Риману на отрезке [ , ]. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
lim |
( , ) = . Т.е. |
|
> 0 |
|
( ) : , |
|
< : |
| |
|
( , ) |
− |
|
| |
< . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
Зафиксируем , , . Выберем теперь такие ′, ′′ |
|
|
[ |
−1 |
, |
], что |
( ) |
2( ( ′) |
− |
( ′′)). |
||||||||||||||||||||||||||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( )Δ 6 |
2 |
|
( ( ′) − ( ′′)) · |
|
= 2 | ( , ′) − ( , ′′)| 6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2( ( , ′) |
|
+ |
|
|
|
( , ′′) ) |
6 |
2 |
|
+ |
|
|
= . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
− |
|
| |
|
|
| |
|
− |
|
|
|
|
|
|
| |
( |
4 |
4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Что и требовалось доказать.
Теперь докажем достаточность. Для начала докажем следующую лемму:
Лемма 38.3. Пусть = { } =1 и * = { *} =1* . Тогда если * , то
|
|
|
| ( , ) − *( , *)| 6 |
∑ |
(1) |
( )Δ . |
||
|
=1 |
|
Доказательство. Рассмотрим произвольный отрезок разбиения |
[ −1, ]. В нем содер- |
|||||||||||||||||
жатся какие-то точки разбиения *: |
−1 |
< |
−1+1 |
< |
· · · |
< |
|
, |
причем |
−1 |
= |
−1 |
и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
. Выберем на [ −1, ] точку |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= . Тогда |
= |
и на каждом маленьком |
||||||||||||||||
= −1 |
|
|
|
|
. Теперь рассмотрим разность |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
отрезка точки |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
подотрезке этого ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
· |
|
− |
|
( *) |
· |
|
|
∑ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −1
|
|
= |
( ) |
|
|
|
( *) |
· |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= −1 |
|
− = −1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∑ |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
( ( ) |
− |
( *)) |
6 |
|
|
( )Δ |
|
= ( )Δ . |
|||
|
= −1 |
|
|
|
= −1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. это выполнено для любого , а разность слева в данном неравенстве является частью разности интегральных сумм в (1), то получили то, что и требовалось доказать. [:|||||:]
111