Часть 7

Критерий Коши

1Фундаментальная последовательность

Числовая последовательность { } называется фундаментальной или последовательностью Коши, если

> 0 ( ) : > , N | + − | < .

Теорема 7.1. Если { } — фундаментальная, то существует такое , что для любого> 0 вне интервала ( − , + ) лежит только конечное число элементов данной последовательности.

Доказательство.

> 0 : > , N | − + | < . | − + | < ,− < + < + .

Т.е. между − и + лежат «практически все» элементы последовательности, т.е. вне этого интервала их лишь конечное число. [:|||||:]

Теорема 7.2. Любая фундаментальная числовая последовательность является ограниченной.

Доказательство. Из фундаментальности следует, что > 0 ( ) : > , N | + − | < . Из предыдущей теоремы N − < + < + . Если { } ограничена, то > 0 : N | | 6 . Тогда примем = max{| − |, | + |, | 1|, . . . , | |}. [:|||||:]

2Критерий Коши

Теорема 7.3. Числовая последовательность { } сходится т.и.т.т., когда она фундаментальна.

фундаментальна.

Достаточность.

{ } фундаментальна { } ограничена. Тогда вследствие теорем 6.7 и 7.1 > 0 ( ; ¯) ( − ; + ), из чего следует, что 0 6 ¯ − < 2 . ¯ > ¯ − = 0 (иначе можно было бы подобрать такое , что предыдущее неравенство не выполнялось) ¯ = { } →.

[:|||||:]

27

3Телескопический признак сходимости

Теорема 7.4. Пусть 1 > 2 > 3 > . . . > 0. Тогда последовательность = 1 + 2 + · · · + сходится т.и.т.т., когда сходится последовательность = 1 + 2 2 + 4 4 + · · · + 2 2 .

Доказательство. { }, { } не убывают, значит они сходятся т.и.т.т., когда они ограничены сверху.

Достаточность.

Пусть { } →, тогда > 0 : | | 6 . Поскольку 6 2 +1 − 1, то

= 1 + · · · + 6 1 + · · · + + · · · + 2 + · · · + 2 +1−1.

Теперь сгруппируем слагаемые:

1 6 12 + 3 6 2 24 + 5 + 6 + 7 6 4 4

. . .

2 + · · · + 2 +1−1 6 2 2 .

Тогда получаем, что

1 + · · · + + · · · + 2 + · · · + 2 +1−1 6 1 + 2 2 + 4 4 + · · · + 2 2 = .

А значит, { } →.

Необходимость.

Пусть теперь { } →, т.е. { } ограничена. Заметим, что

1

1 > 2 1

2 > 23 + 4 > 2 4

. . .

Тогда получаем, что

2 = 1 + 2 + · · · + 2 −1 + · · · + 2 > 12 1 + 2 + 2 4 + · · · + 2 −1 2 = 12 .

А значит, { } →.

[:|||||:]

28

Часть 8

Леммы, связанные с непрерывностью множества действительных чисел

1Покрытие множеств

Будем говорить, что система множеств = { } покрывает множество , если любойнаходится хотя бы в одном . В этом случае называют покрытием множества .

Будем говорить, что ′ является подсистемой системы , если ′ и ′ — система той же природы.

Поясним то, о чем говорится в этом определении: — это множество множеств . Этимогут быть отрезками, интервалами, лучами и т.д.. Тогда ′ включается в и состоит из множеств ′ того же характера — отрезков, интервалов или лучей, что и множества .

Лемма 8.1 (Гейне-Бореля). Из любого покрытия интервалами отрезка [ ; ] можно выделить конечное подпокрытие.

Доказательство. От противного: пусть система интервалов покрывает [ ; ] и из нее нельзя выделить конечное подпокрытие.

Пусть 1 = [ ; ]. Разделим 1 на две равные части. Хотя бы одну из этих частей нельзя покрыть конечной подсистемой интервалов (т.к. конечное+конечное=конечное). Выберем эту часть и назовем ее 2. Для нее выполним такую же операцию: выберем половину, не покрываемую конечной подсистемой и назовем ее 3. Выстроим такую последовательность { }, что ни один ее элемент не покрывается конечной подсистемой . Но т.к. +1 — это одна из частей отрезка , то { } — это последовательность вложенных сегментов ( 1 2 3 . . . ). Однако

длина каждого = 2 −1 1 → 0 { } — система стягивающихся сегментов (С.С.С.).

∞

По лемме 5.4 для каждой С.С.С. ! . Т.к. любой [ ; ], то и [ ; ]. Но

=1

тогда в системе найдется хотя бы один такой интервал, что точка в нем содержится. Пусть это интервал ( ; ). = min{ − ; − }. Поскольку последовательность { } убывает к 0, то всегда найдется такой отрезок , что его длина меньше выбранного . Тогда левый конец лежит не дальше, чем , а правый — не дальше, чем , а значит, весь отрезок покрывается конечной подсистемой , а конкретно, интервалом ( ; ). Получили противоречие: лемма доказана. [:|||||:]

2Предельные точки множеств

Точка называется предельной точкой множества , если в любой ее окрестности содержится бесконечно много элементов множества .

Множество таких точек будем обозначать . Например, если = ( ; ), то = [ ; ]

(это как раз и следует из непрерывности множества действительных чисел, вынесенной в заголовок. Нетрудно сообразить, что любой интервал ( − ; + ) содержит бесконечно много действительных чисел).

Лемма 8.2 (Больцано-Вейерштрасса). У любого ограниченного бесконечного множества есть хотя бы одна предельная точка.

29