- •1 Аксиоматика множеств действительных чисел
- •Действительные числа
- •Изображение вещественных чисел бесконечными десятичными дробями
- •Изоморфизм
- •Мощность множества
- •2 Ограниченные и неограниченные множества
- •Ограниченные множества
- •Верхняя и нижняя грань
- •Теорема Архимеда
- •Метод математической индукции
- •3 Предел числовой последовательности
- •Числовые последовательности
- •Свойства бесконечно малых числовых последовательностей
- •Связь бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей
- •Предел числовой последовательности
- •4 Сходящиеся последовательности
- •Свойства сходящихся числовых последовательностей
- •Предельный переход и неравенства
- •Теорема о двух милиционерах
- •5 Монотонные последовательности
- •Определение
- •Теорема Вейерштрасса
- •Число Эйлера
- •Система стягивающихся сегментов
- •6 Частичные пределы последовательности
- •Подпоследовательности
- •Частичные пределы
- •Критерий сходимости числовой последовательности
- •7 Критерий Коши
- •Фундаментальная последовательность
- •Критерий Коши
- •Телескопический признак сходимости
- •Покрытие множеств
- •Предельные точки множеств
- •9 Предел функции
- •Определения
- •Предел функции в точке по Коши
- •Предел функции в точке по Гейне
- •Эквивалентность формулировок
- •Односторонние пределы
- •10 Теоремы, связанные с понятием предела функции
- •Арифметические операции с пределами
- •Предел композиции функций
- •Предельный переход и неравенства
- •11 Критерий Коши существования предела функции
- •Критерий Коши
- •Асимптотическое сравнение функций
- •Свойства отношения эквивалентности
- •Замечательные пределы
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Таблица эквивалентностей
- •12 Непрерывность функции
- •Понятие непрерывности
- •Свойства непрерывных функций
- •Арифметические операции над непрерывными функциями
- •Непрерывность композиции функций
- •Классификация точек разрыва
- •Точки разрыва монотонной функции
- •13 Локальные и глобальные свойства непрерывных функций
- •Локальные свойства
- •Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
- •Сохранение знака непрерывной в точке функции
- •Глобальные свойства
- •Прохождение непрерывной функции через 0 при смене знаков
- •Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение
- •Критерий непрерывности монотонной функции
- •14 Теоремы Вейерштрасса
- •Первая теорема Вейерштрасса
- •Вторая теорема Вейерштрасса
- •Производная функции
- •Понятие производной
- •Односторонние производные
- •Геометрическая интерпретация производной
- •Дифференцируемость функции
- •16 Теоремы о дифференцируемости функций I
- •Правила дифференцирования
- •Функции, заданные параметрически
- •17 Теоремы о дифференцируемых функциях II
- •18 Теоремы о дифференцируемых функциях III
- •19 Производные высших порядков
- •Определение
- •Формула Лейбница
- •Инвариантность формы дифференциала
- •Инвариантность первого дифференциала
- •Нарушение инвариантности для дифференциалов высших порядков
- •Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •20 Равномерная непрерывность
- •Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности и колебание функции на отрезке
- •21 Раскрытие неопределенностей
- •Первое правило Лопиталя
- •Второе правило Лопиталя
- •Применение на практике
- •22 Формула Тейлора
- •Постановка задачи
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа
- •Единственность разложения
- •Разложение по формуле Маклорена
- •23 Исследование функций методами дифференциального исчисления I
- •Условия монотонности функций
- •Условия точек экстремума
- •Асимптота графика функции
- •Выпуклость функции и точки перегиба
- •Геометрическая интерпретация выпуклости
- •Точки перегиба
- •25 Функции нескольких переменных
- •Определения
- •Классификация точек
- •Открытые и замкнутые множества
- •Окрестность точки
- •Предел функции
- •Функции двух переменных
- •Непрерывность
- •Частные производные ФНП и ее дифференциал
- •Необходимые условия дифференцируемости
- •Достаточное условие дифференцируемости
- •27 Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных
- •Дифференцируемость сложной функции
- •Инвариантность формы первого дифференциала и правила дифференцирования
- •28 Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Смешанные производные
- •Второй дифференциал ФНП
- •29 Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала
- •Частная производная первого порядка
- •Касательная плоскость
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •30 Неявные функции
- •Понятие неявной функции
- •Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции
- •Теорема о разрешимости системы неявных функций
- •31 Безусловный экстремум функции нескольких переменных I
- •32 Безусловный экстремум функции нескольких переменных II
- •Необходимое условие локального экстремума в терминах второй производной
- •Критерий Сильвестра
- •Достаточное условие локального экстремума для функции двух переменных
- •Формула Тейлора и замена переменных для ФНП
- •Формула Тейлора в многомерном случае
- •Замена переменных в дифференциальных уравнениях
- •33-34 Условный локальный экстремум
- •Метод исключения для нахождения точек условного экстремума
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Достаточные условия существования условного экстремума по методу Лагранжа
- •35 Первообразная функция и неопределенный интеграл I
- •Основные определения
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Методы интегрирования
- •36 Первообразная функция и неопределенный интеграл II
- •Разложение многочлена на множители
- •Комплексные числа
- •Разложение многочлена на множители
- •Интегрирование рациональных дробей
- •37 Первообразная функция и неопределенный интеграл III
- •Некоторые тригонометрические выражения
- •Квадратичные иррациональности
- •38 Определенный интеграл Римана I
- •Разбиение отрезка
- •Свойства измельчения
- •Определенный интеграл
- •Необходимое условие интегрируемости
- •Критерий интегрируемости функции по Риману
- •39 Определенный интеграл Римана II
- •Интегральные суммы Дарбу
- •Достаточные признаки интегрируемости
- •Свойства интегрируемых функций
- •Безымянное свойство
- •Аддитивность
- •Линейность интеграла
- •Интегрируемость произведения
- •Неотрицательность определенного интеграла
- •Интегрируемость модуля
- •Ну и еще два свойства
- •40 Определенный интеграл Римана III
- •Теоремы о среднем
- •Первая теорема о среднем
- •Вторая теорема о среднем
- •Связь между определенным и неопределенным интегралами
- •Основная формула интегрального исчисления
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям
- •41 Несобственные интегралы
- •Несобственные интегралы I рода
- •Несобственные интегралы II рода
- •Сходимость в смысле главного значения
- •Критерий Коши сходимости несобственных интегралов I рода
- •42 Признаки сравнения несобственных интегралов
- •Простейшие признаки сравнения
- •Абсолютная и условная сходимость
- •Признак Дирихле
- •Признак Абеля
- •43 Приложения интегрального исчисления к вычислению площадей
- •Многоугольные фигуры
- •Свойства площади
- •Квадрируемость фигуры
- •Критерии квадрируемости
- •Криволинейная трапеция
- •Параметрически заданная кривая
- •Площадь фигуры в полярной системе координат
- •Понятие кривой на плоскости и в пространстве
- •Длина дуги кривой
- •Объем тела вращения
- •Дифференцирование под знаком интеграла
- •Теория
- •Примеры
- •Вопросы для самопроверки перед коллоквиумом
- •45 Численные методы
- •Метод бисекции
- •Нахождение всех корней полинома
- •Метод Ньютона
- •Метод золотого сечения
- •Градиентный спуск
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Метод прямоугольников
- •Метод трапеций
- •Метод Симсона
- •Различные равенства и неравенства
- •Тригонометрические тождества
- •Классика
- •Гиперболические функции
- •Предел числовой последовательности
- •Функции
- •Функции нескольких переменных
- •Таблица производных
- •Ряды Маклорена
- •Таблица неопределенных интегралов
- •Методы интегрирования
- •Интегрирование рациональных функций
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Метод Остроградского
- •Рационализация интегралов
- •Обобщенная формула интегрирования по частям
- •Более нестандартные примеры
- •Определенные и несобственные интегралы
Достаточность. Пусть lim ( , , E) = 0. Это означает, что
→0+0
> 0 ( ) > 0 : 0 < ′ < ( ′, , E) < .
Выберем какое-нибудь из указанных ′. Тогда при 1, 2 |
E, | 1 − 2| < ′ будем иметь |
|
| ( 1) − ( 2)| 6 |
sup | ( 1) − ( 2)| |
= ( ′, , E) < , |
| 1− 2|< ′
т.е. функция равномерно непрерывна на множестве E.
[:|||||:]
Часть 21
Раскрытие неопределенностей
1Первое правило Лопиталя
Теорема 21.1. Пусть есть функции ( ) и ( ), такие что:
1.и дифференцируемы на интервале ( , ), причем и конечны.
2.lim ( ) = lim ( ) = 0.
→ +0 → +0
3. |
′( ) = 0 |
при |
|
|
( , ) |
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
̸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
′( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
|
|
lim |
|
|
|
R, где R = R {−∞} {+∞}. |
||||||||||||||
|
|
′( ) = |
|||||||||||||||||||
|
+0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
|
lim |
( ) |
= |
|
lim |
|
′( ) |
= . |
|
||||||||||
|
( ) |
|
|
′( ) |
|
||||||||||||||||
→ |
+0 |
|
|
|
+0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Доопределим функции ( ) и ( ) в точке , приняв, что ( ) = ( ) = 0. Поскольку в условии теоремы ничего не говорится о значениях функций в этой точке, это
можно сделать. После этого ( ), ( ) |
C[ , ). Пусть |
|
( , ), тогда |
для точек и |
|
||||||||||||||||||||
выполняются все условия теоремы Коши, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
( , ) |
|
( , ) : |
( ) |
= |
( ) − ( ) |
= |
′( ) |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
( ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
− |
( ) |
|
′( ) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По определению предела, lim |
′( ) |
|
= |
|
|
> |
0 |
|
|
|
|
) |
> |
0 : |
|
: |
< < + |
|
|||||||
′( ) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
→ +0 |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
′( ) |
− |
< . Но для каждого из указанного интервала найдется |
свое |
, такое что |
′( ) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
′( ) |
|
′( ) |
||||||||||||||||||||||
|
. |
Но |
раз |
|
( , ), то, очевидно, выполняется |
|
|
′ |
− |
|
|
< |
|
|
|
− |
|
|
< , что и |
|||||||
( ) |
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
( ) |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[:|||||:] |
||||||||||
|
|
|
Чтобы применять теорему и для бесконечных интервалов ( , ), достаточно сделать замену |
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
и продифференцировать сложную функцию ( |
( ) )′ = ′ ( ) · (− |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
59
2Второе правило Лопиталя
Теорема 21.2. Пусть есть функции ( ) и ( ), такие что:
1.и дифференцируемы на интервале ( , ), причем и конечны.
2.lim ( ) = lim ( ) = ∞.
→ +0 → +0
3. ′( ) ̸= 0 при ( , ).
|
|
|
|
′( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
|
lim |
|
= |
R. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
+0 |
′( ) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
|
lim |
( ) |
= |
|
lim |
′( ) |
= . |
|||||||||
|
( ) |
|
|
′( ) |
|
|||||||||||||
→ |
+0 |
|
|
+0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
Доказательство. Для начала положим, что 6 0 (при > 0 доказательство практически
|
|
|
|
|
(0 |
4 ) |
→ +0 |
′( ) |
|
|
|||||
аналогично приведенному). Пусть |
|
|
|
|
, 1 . Тогда по определению предела |
lim |
′( ) |
= |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( , ) : ( , ) |
′( ) |
− |
< . Здесь мы просто приняли, что = + , в остальном |
||||||||||||
′( ) |
|||||||||||||||
же интерпретация определения |
предела |
|
не изменилась. |
|
|
|
|
||||||||
Выберем произвольное из данного |
|
интервала ( , ). Заметим, что выполняется теорема |
|||||||||||||
Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( ) − ( ) |
|
= |
′( ) |
, где < < < < . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
( ) |
− |
( ) |
|
|
|
′( ) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )
( ) · 1 − ( ) = ′( ),
( ) ′( )( )
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
( ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
( ) |
|
′( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
· |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
( ) |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
||||||
Заметим теперь, что lim |
|
( ) |
= |
lim |
|
( ) |
|
= 0, т.к. ( ) |
и ( ) — константы. Тогда |
|||||||||||||
|
|
|
( ) |
|
||||||||||||||||||
→ +0 |
( ) |
→ +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
||||||||
выберем для текущего закрепленного |
такое ( ) > 0 : ( , + ), + < |
< |
||||||||||||||||||||
(( ) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ( ) < . Тогда получаем следующую оценку:
( )
|
|
|
|
( ) |
|
|
( |
|
|
|
1 − ) |
|
|||||||
|
|
|
|
( ) |
|
1 |
+ |
|
|||||||||||
|
|
|
1 − ( ) |
|
|
1 |
− |
, |
|
1 + |
. |
|
|
||||||
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поскольку (0, 41 ), то |
1+1− |
= 1 − |
2 |
|
> 1 − 2 |
и |
1+ |
= 1 + |
2 |
< 1 + 38 . Учитывая, что |
|||||||||
1+ |
1− |
1− |
60
′( ) ′
′( ) U ( ):
|
|
|
|
|
1 |
− |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
′( ) |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
|
· |
|
( ) |
|
(( − )(1 − 2 ), ( + ) (1 + |
|
|
) ) = |
|
|
|
|||||
( ) |
′( ) |
|
|
( ) |
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
+ 3 2) ) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ( − ( + 2 − 2 2), + ( + 3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
}. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) U ( ), где = max { + 2 − 2 2, + 3 + |
3 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
8 |
8 |
|
Как видно, lim = 0, а для любого сколь угодно малого всегда можно найти соответ-
ствующее , такое, что все значения отношения функций попадут в заданную -трубку. Это и означает, что предел отношения функций равен . [:|||||:]
Данная теорема также элементарно обобщается на случай бесконечных интервалов.
3Применение на практике
Для начала заметим, что оба правила можно использовать и для вычисления пределов вида
lim ( ) , а также для классического случая lim ( ) . Соответствующие доказательства могут
→ −0 ( ) → ( )
быть найдены в других источниках.
Пример вычисления (по первому правилу):
→0+0 |
( |
( →0+0 |
) |
|
( →0+0 |
− ) = |
|
|
|
|
|
||||
lim |
> 0) = exp |
lim |
ln |
= exp lim |
ln |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
( →0+0 |
− ) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
→0+0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= exp |
|
|
|
= exp |
= exp(0) = 1. |
|||||||
|
|
|
− − −1 |
||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим также, что правила Лопиталя напрямую применимы только в случаях, когда имеется неопределенность вида 00 или ∞∞. Остальные неопределенности для применения правил Лопиталя нужно сводить к этим, например, в случае 1∞:
→ |
→ |
∞ → |
( → |
) |
( → 1/ ( ) ) |
||
lim ( ) = 1, lim ( ) = |
lim( ( )) ( ) = exp |
lim ( ) ln( ( )) |
= exp |
lim |
ln( ( )) |
. |
|
|
Т.е. получили неопределенность вида 00 . Рассмотрим также выражение ∞ − ∞:
lim ( ) = lim ( ) = |
∞ |
lim( ( ) |
− |
( )) = lim |
|
1 |
|||
1 |
|||||||||
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.е. неопределенность вида 00 .
Однако правило Лопиталя применимо далеко не всегда:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
1 |
|
. |
||
− |
1 |
= |
lim |
( ) |
( ) |
||||||||
1 |
1 1 |
|
|||||||||||
|
→ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) · ( ) |
|
|||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
− sin |
= |
lim |
1 |
− cos |
. |
|
||||||
→+∞ + sin |
|
→+∞ 1 |
+ cos |
61