= − ′ ( 0, 0) + 1 .′( 0, 0) + 2

Устремляя к 0, получаем:

′( ) = − ′ ( 0, 0).′( 0, 0)

[:|||||:]

3Теорема о разрешимости системы неявных функций

Теперь рассмотрим более общую задачу о возможности разрешить систему из уравнений относительно переменных.

Для системы функций { ( )} =1 переменных = ( 1, . . . , ) определитель

1.Функции (¯, ¯) = ( 1, . . . , , 1, . . . , ), = 1, непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности U( (0), (0)) точки ( (0), (0)).

2.= 1, ( (0), (0)) = 0.

Тогда существует прямоугольная окрестность ( (0)) × ( (0)), в которой

{ (¯, ¯) = 0} =1 { = (¯)} =1,

где ( 1, . . . , ) : ( (0)) → ( (0)), функции непрерывно дифференцируемы на ( (0)) и

= 1, ( (0)) = (0).

Часть 31

Безусловный экстремум функции нескольких переменных I

Пусть функция (¯) определена в окрестности U(̃ (0)) R . В дальнейшем под мы будем подразумевать -мерный вектор, поэтому вместо ¯ будем писать просто .

88

Точка (0) R называется точкой локального минимума функции ( ), если U( (0)) :U′( (0)) ( ) > ( (0)). Если знак > заменить на >, то получаем определение строгого локального минимума. Аналогично вводится понятие локального максимума (строгого локального максимума). Тогда локальный экстремум — это либо локальный максимум, либо локальный минимум.

Теорема 31.1 (Необходимое условие локального экстремума). Пусть (0) — локальный

Доказательство. Рассмотрим функцию ( (0)) = ( (0)1 , (0)2 , . . . , (0), . . . , (0)), т.е. зафиксиру-

Будем называть точку (0) стационарной точкой функции , если дифференцируема в(0), и ( (0)) = 0. Мы можем сформулировать следующее следствие из предыдущей теоремы, используя новое понятие.

Следствие 31.2. Если дифференцируема в (0), и (0) — локальный экстремум , то (0) — стационарная точка.

Доказательство. Вспомним, что

Обратное неверно! Действительно, рассмотрим функцию ( , ) = 2 − 2. Точка (0, 0) —

В качестве примера квадратичной формы можно привести функцию ( , ) = 2 + + 2 или, что более важно, дифференциал второго порядка. Действительно,

∂2 ( (0))

∑

2 ( (0)) = .

, =1 ∂ ∂

Более подробно квадратичные формы будут рассмотрены нами в курсе линейной алгебры. Будем называть квадратичную форму ( ):

Положительно определенной, если R ( ) > 0.

Отрицательно определенной, если R ( ) < 0.

Определенной, если она либо положительно, либо отрицательно определена.

Неопределенной, если 1, 2 : ( 1) > 0, ( 2) < 0.

Лемма 31.3. Если квадратичная форма ( ) положительно определена, то > 0 : ( ) >

| |2 > 0.

89

Доказательство. Сразу рассмотрим случай, когда | | = 0. Тогда, очевидно, выполняется 0 >

Как мы уже знаем, | | — единичный вектор. Рассмотрим множество = { R | | | = 1}. Данное множество — компакт, т.е. оно замкнуто и ограничено. Тогда по второй теореме Вейерштрасса и, пользуясь непрерывностью ( ), получаем, что min ( ) = . Указанное

Теорема 31.4 (Достаточное условие строгого локального экстремума). Пусть функция ( ) дважды непрерывно дифференцируема в стационарной точке (0). Тогда если2 ( (0)) — определенная квадратичная форма, то (0) — локальный экстремум. Причем если 2 ( (0)) < 0, то (0) — локальный максимум, а если 2 ( (0)) > 0, то (0) — локальный минимум. Если же 2 ( (0)) не определена, то (0) не является локальным экстремумом.

Доказательство. Воспользуемся теоремой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для функций многих переменных:

Пусть для начала 2 ( (0)) > 0. Поскольку (0) — стационарная точка, то из теоремы 31.1

∂ ( (0)) = 0. Запишем также o(Δ¯ 2) = (Δ )| |2. Тогда получаем:

∂

Значит, (0) — строго локальный минимум. Случай, когда 2 ( (0)) < 0 доказывается аналогично. Для этого нужно также доказать лемму, что ( ) 6 − | |2, где ( ) — отрицательно

|| = > 2 (2 + (Δ )) > 2 · 4 > 0.

Сдругой стороны, ( ′′) 6 | ′′|2 = :

90