Тогда > 0 = |
1 : −1 < < 0 sgn = −1 | sgn − (−1)| = 0 |
< и : 0 < < |
|||||||||||||
1 sgn |
|
= 1 | sgn |
|
− 1| = 0 |
< . Отсюда |
|
lim |
|
) = −1 |
, |
|
lim |
|
. Т.к. |
, то |
|
|
|
→0−0 |
( |
|
→0+0 |
( ) = 1 |
1 ̸= −1 |
|||||||
@ lim ( ).
→0
Часть 10
Теоремы, связанные с понятием предела функции
1Арифметические операции с пределами
Вспомним о том, что мы ввели два определения и доказали достаточно много содержательных утверждений для последовательностей и их пределов. Поэтому сейчас их можно обобщить на функции:
Теорема 10.1. 
lim ( ) = , lim ( ) = . Тогда:
1. |
|
|
|
± |
→ |
|
|
± |
|
. |
→ |
|
|
|||
|
|
( )) = |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
lim ( ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
→ |
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
( )) = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
lim ( ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
lim |
( ) |
= |
|
, при |
= 0 |
и |
|
|
U′ |
( ) : ( ) = 0 |
||||
|
|
|||||||||||||||
→ |
( ) |
|
|
̸ |
|
|
|
̸ . |
||||||||
Доказательство. Приведем пример доказательства для сложения и вычитания (для остальных операций аналогично). Из определения по Гейне следует, что { } : N ̸=
|
|
{ |
( ) |
} −−−→ |
|
{ |
( ) |
} −−−→ |
. Тогда, используя свойство для числовых по- |
|||||||||||||||||
, lim = |
|
→∞ |
, |
|
|
|
|
|
→∞ |
|||||||||||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
} −−−→ |
|
± |
|
|
|
|
|
± |
|
± |
|
||||
следовательностей, получаем, что |
( ) |
± |
|
|
|
|
|
|
|
|
. [:|||||:] |
|||||||||||||||
|
|
|
( ) |
→∞ |
|
|
|
|
lim( ( ) |
|
( )) = |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из этой теоремы не принято выводить никаких следствий, но полезно знать и более общие утверждения, которые следуют из теоремы 10.1: существование предела в точке для суммы и произведения двух функций означает существование предела в точке для конечного числа функций (если они все в этой точке сходятся, естественно), причем этот предел равен сумме или произведению всех пределов.
2Предел композиции функций
|
|
( ): X →R, |
( ): Y →R, при этом X ( ) Y (или (X) Y). Тогда на X |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
определена композиция функций и : или (иначе) сложная функция ( ( )). |
0 |
|
||||||||||||||
( |
|
): X →R |
( |
): Y →R |
|
(X) Y. Пусть также |
|
0 |
0 |
|
. |
|||||
Теорема 10.2. |
|
|
|
|
, |
|
, |
lim ( ) = |
, |
lim ( ) |
|
|||||
|
|
lim ( ( )) = lim ( ) |
|
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|||||
Тогда → 0 |
|
→ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство. Обозначим lim ( ) = 0. Для произвольной окрестности U( 0) найдется |
|
|||||||||||||||
→ 0
такая V′( 0) : Y ∩ V′( 0) ( ) U( 0). Для V′( 0) W′( 0) : W′( 0) ( )
Y ∩ V′( 0). Объединяя оба утверждения, получаем:
U( 0) W′( 0) : W′( 0) ∩ X ( ) Y ∩ V′( 0) ( ( )) U( 0).
33
Это в точности то, что требуется доказать. [:|||||:]
Во многих доказательствах, которые ведутся при помощи определений тех или иных понятий с большим числом кванторов существования и единственности важно понимать, какие элементы мы можем выбрать произвольно, а какие уже выбрать придется однозначно. Например, выше в процессе доказательства мы получили, что для произвольной окрестности точки
0 найдется какая-то определенная этой уже нами выбранной окрестностью окрестность точки 0.
Поговорим о том, что было получено в предыдущей теореме. Зачастую кажется, что такая конструкция, как предел композиции функций, довольно сложна в использовании, но это не
так. Допустим, нужно вычислить lim (sin )2. Тогда, не ссылаясь на неопределенные пока (да
→0
и непонятные) свойства монотонности и непрерывности, можно вычислить такой предел: пусть( ) = sin и ( ) = 2. Тогда по теореме 10.2 можно найти предел ( ) и искать предел ( ) в найденном значении предела ( ).
3Предельный переход и неравенства
lim ( ) = , lim ( ) = и < . Тогда:
→ |
→ |
1. U′( ) : U′( ) ( ) < ( ).
Доказательство. По аксиоме полноты : < < .
По определению предела U1′ ( ), U2′ |
( ) : U1′ |
( ) | ( ) − | < 1 |
= − и |
||||||||||||||||||||||||||
U′ |
( ) |
| |
( ) |
− |
|
< |
2 |
= |
− |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
. Тогда |
||||||
|
U′( ) = |
U′ ( ) |
∩ |
U′ ( ) : |
|
|
|
U′( ) |
| |
( ) |
− |
|
| |
< |
− |
| |
( ) |
− |
|
| |
< |
− |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
− < ( ) − < − и − < ( ) − < − ( ) < = − + < ( ). |
[:|||||:] |
||||||||||||||||||||||||||||
2. Лемма о двух милиционерах для функций. 
, , : E →R и E ( ) 6 ( ) 6
( ) и lim ( ) = lim ( ) = . Тогда lim ( ) = .
|
|
→ |
→ |
→ |
|
Доказательство. По определению предела > 0 |
U1′ ( ) : U1′ ( ) | ( ) − | < |
||||
и U2′ ( ) : U2′ ( ) | ( ) − | < . Отсюда − < ( ) < + и − < ( ) < + . |
|||||
Тогда U1′ |
( ) ∩ U2′ ( ) выполняется: − < ( ) |
6 ( ) 6 ( ) < + | ( ) − | < |
|||
|
|
lim ( ) = . |
|
[:|||||:] |
|
|
→ |
|
|
|
|
Как мы можем заметить, доказательства этих теорем практически слово в слово повторяют доказательства аналогичных теорем для последовательностей. Разница заключается лишь в подмножестве аргумента, на котором исследуется доказываемое: для последовательностей — на [ , ∞), а для функций — на U′( ).
Следствие 10.3. 
lim ( ) = , lim ( ) = . Тогда, если U( ), для которой:
→ →
1.( ) < ( ) 6 .
2.( ) 6 ( ) 6 .
3.( ) < 6 .
4.( ) 6 6 .
34