Из этой системы найдем соответствующие 0, 0, 0 и 0, после чего исследуем 2 =( , , ). Следует отметить, что если мы в результате получили, что 2 знаконеопределена, то нужно вспомнить про зависимость между дифференциалами . Иными словами, необходимо также решить систему

1( ) = 0

. . .

( ) = 0

Решив эту систему, мы найдем зависимость между дифференциалами, при учете которой может оказаться, что 2 знакоопределена.

Часть 35

Первообразная функция и неопределенный интеграл I

1Основные определения

Для удобства введем следующее обозначение для произвольного промежутка (конечного или бесконечного) между и . Запись , может обозначать либо ( , ), либо [ , ], либо ( , ] или же [ , ).

Функция ( ) называется первообразной функции ( ) на , , если ( ) дифференцируема и ′( ) = ( ) на , . В этом определении если и принадлежат промежутку , , то под ′( ) и ′( ) понимаются односторонние производные.

Если ( ) первообразная ( ) на , , то ( ) + , где = , также является первообразной ( ), т.к ( ( ) + )′ = ′( ). Верно и обратное: если ( ) и Φ( ) первообразные функции ( ) на , , то ( ) = Φ( ) + . Действительно, ( ( ) − Φ( ))′ = ′( ) − Φ′( ) =

( )− ( ) = 0. Но по теореме 18.3 ( ( )−Φ( ))′ = 0 ( )−Φ( ) = , т.е. ( ) = Φ( )+ . Операция нахождения первообразной функции ( ) на , называется неопределенным

интегрированием. Если ( ) — некоторая первообразная ( ), то записывается

∫

( ) = ( ) + .

∫

Здесь ( ) — это множество функций, являющихся первообразными функции .

2Свойства неопределенного интеграла

Пусть ( ) — первообразная функции ( ) на , .

1.По определению дифференциала ∫ ′( ) = ∫ ( ).

2.По определению первообразной (∫ ( ) )′ = ( ).

3.∫ ′( ) = ( ) + (снова по определению).

100

Заметим, что из 2 и 3 свойств вытекает, что дифференцирование и интегрирование — взаимно обратные операции. Рассмотрим несколько примеров:

∫

Важно отметить, что тождество ( ) = ( ) + справедливо на области определения функции ( ). Именно поэтому в последнем примере необходимо поставить знак модуля.

3Методы интегрирования

Теорема 35.1 (Интегрирование по частям). Пусть ( ) и ( ) дифференцируемы, и ∫ ′( ) ( ) . Тогда ∫ ( ) ′( ) , причем

Разумеется, применять данный метод следует лишь в том случае, если найти интеграл проще, чем .

Теорема 35.2 (Замена переменных). Пусть ( ) имеет первообразную ( ) на [ , ], т.е.

∫

( ) = ( )+ , а функция : [ , ] → [ , ] является дифференцируемой на [ , ]. Тогда

101