4Система стягивающихся сегментов

Множество отрезков {[ , ]}∞=1 называется системой стягивающихся сегментов (ССС), если выполнено:

2. lim( − ) = 0.

→∞

Лемма 5.4 (Коши-Кантора). Для любой ССС существует, причем единственная, точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы, т.е. ! ∞=1[ ; ].

Доказательство. Единственность. От противного.

Получили противоречие с п. 2.

Существование.

{ } , 6 1 { } →. Аналогично, { } , > 1 { } →. Из свойства 2

{ − } → 0 lim = lim = .

→∞ →∞

Заметим, что лемма 5.4 не справедлива для системы стягивающихся интервалов. На-

Часть 6

Частичные пределы последовательности

1Подпоследовательности

Пусть 1 < 2 < . . . — некоторые натуральные числа. Тогда { } — подпоследовательность { }. Например, {1, 3, 5, . . . } — нечетная подпоследовательность множества N, в то время как {3, 1, 5, . . . } не является подпоследовательностью N, т.к. 1 > 2.

Теорема 6.1. Если { } сходится, то и любая ее подпоследовательность также сходится, причем к тому же самому числу.

Доказательство.

lim = > 0 ( ) : > ( ) | − | < .

→∞

Возьмем произвольную подпоследовательность, выделенную из исходной с помощью номеров1, 2, . . . , , . . . . Поскольку 1 < 2 < . . . , то > для любого . Тогда и > . А значит> для всех > , т.е. условие в определении предела для них выполняется и подавно:

> | − | < lim = .

→∞

[:|||||:]

23

Теорема 6.2. Любая подпоследовательность бесконечно большой числовой последовательности является бесконечно большой.

Доказательство.

( ) : > | | > .

> > | | > { } — бесконечно большая.

[:|||||:]

2Частичные пределы

Действительное число называется предельной точкой (частичным пределом) { }, ес-

ли:

1.В любой окрестности точки найдется бесконечно много элементов { } или

2.Существует подпоследовательность { } последовательности { }, имеющая точку своим пределом.

Теорема 6.3. Оба определения частичного предела эквиваленты.

Доказательство.

1 2

Пусть в любой -окрестности точки содержится бесконечно много элементов { }. Рассмотрим совокупность -окрестностей точки , для которых последовательно равно

1, 1 , 2 , . . . , , . . . . В первой из этих окрестностей выбираем элемент 1 c некоторым номером 1, во второй 2 с номером 2, таким что 2 > 1 и т.д.. Процесс можно продолжать неограниченно, т.к. в любой -окрестности точки содержится бесконечно много эле-

ментов { }. В результате получим подпоследовательность 1 , 2 , . . . , , . . . , которая сходится к , т.к. | − | < .

2 1

Предположим, что из последовательности { } можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к . Тогда в любой -окрестности точки лежит бесконечно много элементов подпоследовательности (все, начиная с некоторого номера). Так как каждый элемент подпоследовательности является и элементом всей последовательности, то в любой - окрестности точки лежит бесконечно много элементов { }.

[:|||||:]

Теорема 6.4. Любая сходящаяся числовая последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последовательности.

Доказательство. Сама последовательность является собственной подпоследовательностью, поэтому по определению 2 ее предел является предельной точкой. Единственность следует из теоремы 6.1. [:|||||:]

24

3Теорема Больцано-Вейерштрасса

Теорема 6.5. Любая ограниченная числовая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. { } ограничена [ ; ] : N 6 6 . Поделим [ ; ] на 2 равные части. Хотя бы одна из частей (пусть это [ 1; 1]) содержит бесконечно много элементов { }.

Выберем на [ 1; 1] произвольный элемент { }. Назовем его 1 . Далее делим [ 1; 1] на 2 равные части. Хотя бы одна из этих частей содержит бесконечно много элементов { }.

[:|||||:]

Назовем наибольший (наименьший) частичный предел числовой последовательности { }

ее верхним (нижним) пределом.

lim = max{ | — предельная точка}

→∞

lim = min{ | — предельная точка}.

→∞

Теорема 6.6. Любая ограниченная числовая последовательность имеет верхний и нижний пределы.

Доказательство. Докажем существование верхнего предела и хотя бы одной предельной точки (для нижнего предела доказательство аналогично). { } ограничена , : N 6

6 .

Пусть { } = { | справа от лежит лишь конечное число элементов из { }}. Заметим, что множеству { } принадлежит любое число , такое что > . Кроме того, множество { } ограничено снизу (в качестве границы подойдет любое такое , что 6 ). Значит, inf{ }. Докажем, что ¯ = inf{ } — верхний предел { }.

1.Докажем, что ¯ — предельная точка.

Пусть > 0 — произвольное число. ¯ = inf{ } : < ¯ / { }. Иначе говоря, правее ¯ − лежит бесконечно много элементов { }.

¯ = inf{ } > 0 ′ : ¯ 6 ′ < ¯ + .

По определению { } правее ′ лежит не более, чем конечное число элементов { }.

Так как правее ¯ − лежит бесконечно много, а правее ′ — лишь конечное число элементов { }, то на интервале (¯ − , ′) (а значит и на интервале (¯ − , ¯ + )) лежит бесконечно много элементов { }, т.е. ¯ — предельная точка.

2.Докажем, что ни одно число ¯ > ¯ не является предельной точкой { }.

Пусть = (¯ − ¯)/2, тогда (¯ − , ¯ + ) ∩ (¯ − , ¯ + ) = ?. Тогда вся -окрестность точки¯ будет лежать правее ¯ + . Как показано выше, для любого > 0 правее ¯ + лежит

лишь конечное число элементов { }. Значит, в рассматриваемой -окрестности точки ¯ лежит не более, чем конечное число элементов { }, а это означает, что ¯ не является предельной точкой { }.

25

[:|||||:]

Следствие 6.7. Пусть числовая последовательность { } ограничена и пусть lim =

→∞

¯, lim = . Тогда > 0 вне интервала ( − , ¯+ ) лежит лишь конечное число элементов

→∞

{ }.

Доказательство. Для «правой» части доказательство проведено в следствии 6.6. Для «левой» части все аналогично. [:|||||:]

Будем называть последовательность { } сходящейся к +∞ (−∞) (∞), если > 0 ( ) :

> > ( < − ) (| | > ).

Лемма 6.8. Из каждой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо подпоследовательность, сходящуюся к ∞.

Доказательство. Для ограниченной последовательности утверждение было доказано ранее.

4Критерий сходимости числовой последовательности

Теорема 6.9. Ограниченная числовая последовательность сходится т.и.т.т., когда ее верхний и нижний пределы совпадают.

Доказательство.

Необходимость.

{ } → любая ее подпоследовательность сходится к тому же самому числу, т.е.

lim = lim .

→∞ →∞

Достаточность.

lim = lim = . Тогда > 0 вне интервала ( − , + ) лежит только конечное

→∞ →∞

число элементов последовательности. Значит, { } не имеет другой предельной точки, т.е. { } сходится.

[:|||||:]

Следствие 6.10. Числовая последовательность сходится т.и.т.т., когда сходится любая ее подпоследовательность.

Доказательство. Пусть сходится какая угодно подпоследовательность { } последовательности { }. Тогда сходится и сама последовательность { }, так как она одновременно является и подпоследовательностью.

Пусть теперь сходится последовательность { }. Возьмем любую подпоследовательность { }. Нижний и верхний пределы подпоследовательности { } заключены между нижним и верхним пределами последовательности { }. Но эти последние пределы совпадают, значит совпадают нижний и верхний пределы подпоследовательности, что обеспечивает сходимость

{ }. [:|||||:]

26